Numeriska metoder: Finita differenser (matrismetoden vs Smutstvätt)

I uppgiften ges följande finita differensapproximation (bra hänga gubbe-ord):

$f\text{'}\text{'}\text{'}\left(t\right)=\frac{-f\left(t\right)+3f(t+h)-3f(t+2h)+f(t+3h)}{h^3}$

I a)-delen ska man härleda noggrannhetsordningen, vilket jag tror att jag gjort rätt på, men det är en annan tråd.

I b)-delen har jag däremot kört fast ordentligt. Här ska denna approximation av tredjederivatan användas för att lösa ett randvärdesproblem i tredje graden. Tidigare har vi endast löst denna typ av problem för andra ordningens diffar. Ekvationen är:

$y\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)=\mathrm{\pi }+\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right), 0\le \mathrm{x}\le 1$

Där randvillkoren uppfyller att $y\left(0\right)=2, y\left(1\right)=3, y\text{'}\left(1\right)=0$. Detta ska skrivas som ett linjärt ekvationssystem på formen Ay = b, där y är:

$y=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_{n-1}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}y\left(h\right)\\ y\left(2h\right)\\ ⋮\\ y(1-h)\end{array}\right]$

Genom att använda approximationen jag fått i uppgiften, fås uttrycket:

$-y\left(x\right)+3y(x+h)-3y(x+2h)+y(x+3h)={\mathrm{\pi h}}^3+\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)h^3$. Det skulle ge ett matrissystem i stil med:

$\left[\begin{array}{cccccc}3& -3& 1& 0& \cdots & 0\\ -(1+h^3)& 3& -3& 1& 0\dots & 0\\ & & ⋮& & & \\ & & ⋮& & & \\ & & -(1+h^3)& 3& -3& 1\\ & & & -(1+h^3)& 3& -3\end{array}\right]y=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\pi h}}^3+2{\mathrm{y}}_0\\ {\mathrm{\pi h}}^3\\ {\mathrm{\pi h}}^3\\ {\mathrm{\pi h}}^3\\ {\mathrm{\pi h}}^3\\ {\mathrm{\pi h}}^3-y(x+3h)\end{array}\right]$

Eller något sådant? Borde inte både y(x + 2h) och y(x + 3h) hamna i HL? Och stämmer verkligen den undre diagonalen i VL? Det känns som att något är ruttet i denna matrisuppställning, men jag vet inte var. :(