Numeriska metoder: Finita differensmetoden på ickelinjärt randvärdesproblem.

Jag har tyvärr ingen aning om ämnet, men jag är mäkta imponerad över formlerna du fått ihop, snyggt jobbat!

Hoppas den här bumpningen ger ditt inlägg lite mer uppmärksamhet! :)

Edit: Latexkoden pajade ihop, jag orkar inte skriva det igen.

Stokastisk skrev :

Edit: Latexkoden pajade ihop, jag orkar inte skriva det igen.

Om problemet var att latex-koden klipps så prova att lägga in ett mellanslag mellan dollartecken och uttrycket. 

Om problemet var att det blev error när du postade så prova att förvandsgranska latex-koden i latex-editorn innan du postar, visas det inte rätt där så kommer det inte posta.

Båda problemen är irriterande, vi vet... 

Du har fått:

$y_{i-1}+y_{i+1}-h^2y_i^2-2y_i-3h^2\cos(x_i)=0$

För i=1 ger detta

$y_0+y_2-2y_1-h^2(y_1^2+3\cos(x_1))=0$

För i=n får vi

$y_{n-1}+y_{n+1}-2y_n-h^2(y^2_n+3\cos(x_n))=0$

Vi ser att vi kan bygga en tridiagonal matris T för i=1 till n med -2 på diagonalen för att hämta $y_i$ och med 1:or för att hämta $y_{i\pm1}$ utom för index 0 och (n+1) . Problemet med de saknade elementen för i=1 och i=n löser vi genom att lägga till en vektor som innehåller $y_0=y(0)$ som första element (i=1) och och $y_{n+1}=y((n+1)h)=y(\pi)=0$ som sista element (i=n). I övrigt ska denna vektor innehålla nollor.  Vi  ser också hur vi kan bygga en vektor av $y^2_i+3\cos(x_i)$ multiplicerat med $h^2$ för i=1 till n.

Identifikation ger $\alpha=y_0=y(0)=4 \qquad \beta=y_{n+1}=y(\pi)=0\qquad \omega=\mathbf{-}$

Hej Finbel!

Du börjar med att diskretisera problemets definitionsområde: 

    $\displaystyle 0 = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n} = 4,$

där avståndet mellan diskretiseringspunkterna är konstant, lika med

    $h = x_{i+1} - x_i$ för $i = 0,1,2,...(n-1)$.

I varje diskretiseringspunkt ($x_i$) vill du beräkna det motsvarande funktionsvärdet $y(x_i)$. Eftersom detta är omöjligt -- det kräver att du känner den exakta lösningen till ODE:n -- beräknar du istället en approximation ($y_i$) till funktionsvärdet. Det finns flera metoder som man kan använda för att approximera derivator; du använder dig av centraldifferens för att approximera andraderivatan $y^{''}(x_i).$

    $\displaystyle h^2 y^{''}(x_i) \approx y_{i+1} - 2 y_i + y_{i-1}$.

Multiplicera ODE:n med $h^2$ för att få ekvationen 

    $\displaystyle h^2 y^{''}(x) + 5h^2 y^2(x) + h^2 xy(x) - h^2 6x = 0.$

Denna ekvation gäller för alla punkter ($x$) i definitionsområdet; därför gäller den även i diskretiseringspunkterna ($x_i$).

    $\displaystyle h^2 y^{''}(x_i) + 5h^2 y^2(x_i) + h^2 x_{i}y(x_i) - h^2 6 x_i = 0.$

Du kräver även att ekvationen ska gälla för de approximativa funktionsvärdena $y_i$ vilket ger dig följande ekvationssystem.

    $\displaystyle y_{i+1} - 2 y_i + y_{i-1} + 5h^2y_i^2 + h^2 x_{i}y_i - 6h^2 x_i = 0$ där $i = 1,2,3,...,(n-1).$

Inför funktionerna $G_{i}(u) = -2u + 5h^2u^2+h^2x_iu-6h^2x_i$ där $i = 1,2,3...,(n-1)$; notera att du har en funktion $G_i$ för varje diskretiseringspunkt $x_i.$

    $\begin{matrix}y_{0} + G_{1}(y_{1}) + y_{2} &=& 0\\ y_{1} + G_{2}(y_{2}) + y_{3} &=& 0\\y_{2} + G_{3}(y_{3}) + y_{4} &=& 0 \end{matrix} .$

Detta kan du uttrycka som en icke-linjär matrisekvation

    ${\mathbf{F}}(\mathbf{y}) = \mathbf{0}$

där vektorn

    ${\mathbf{y}} = \begin{pmatrix}y_{0}\\y_{1}\\ \vdots \\ y_{n}\end{pmatrix}$.

(Fortsättning följer.) 

Albiki

Hej igen!

Du har bytt ut det komplicerade problemet att finna en exakt lösning till ODE:n mot det komplicerade problemet att finna en lösning till den icke-linjära matrisekvationen

    ${\mathbf{F}}(\mathbf{y}) = \mathbf{0}$. 

Det går inte att lösa denna icke-linjära ekvation exakt; istället får du nöja dig med en approximativ lösning. En ofta använd metod för att lösa icke-linjära ekvationer är Newton-Raphsons metod som bygger på att approximera den icke-linjära funktionen med dess motsvarande Taylorpolynom av ordning 1.

    Error converting from LaTeX to MathML

där matrisen ${\mathbf{DF}}(\mathbf{y})$ är funktionalmatrisen för den icke-linjära funktionen ${\mathbf{F}}$ beräknad i punkten ${\mathbf{y}}$; begreppet funktionalmatris är den flerdimensionella motsvarigheten till första ordningens derivata för endimensionella funktioner. 

(Fortsättning följer, om du vill)

Albiki

Hej igen!

Sambandet som inte visades var att Newton-Raphsons metod bygger på approximationen

    ${\mathbf{F}}({\mathbf{u}}) \approx {\mathbf{F}}({\mathbf{y}}) + {\mathbf{DF}}({\mathbf{y}})({\mathbf{u}}-{\mathbf{y}})$.

Albiki

Hej!

Har varit borta över helgen! Ska titta på detta när jag har tid (samt papper och penna) och förhoppningsvis får jag räta på problemet! Tack så hemskt mycket för alla svar!