7 svar

191 visningar

Korvgubben är nöjd med hjälpen

O heliga Cauchyföljder!

Har jag tänkt rätt i följande uppgift?

Låt ${\{x_{k}\}}_{k = 1}^{\infty}$ vara en talföljd och definiera

$s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} o c h S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} |x_{k}|$

Bevisa med hjälp av Cauchys konvergenskriterium att talföljden $\{s_{n}\}$ är konvergent om talföljden $\{S_{n}\}$ konvergent.

Jag vet att den ena talföljden är konvergent, varför den måste vara en Cauchyföljd. Alltså gäller

$\forall ε > 0 \exists N : m, n > N \Rightarrow |\sum_{k = 1}^{m} |x_{k}| - \sum_{k = 1}^{n} |x_{k}|| \leq |\sum_{k = 1}^{m} x_{k} - \sum_{k = 1}^{n} x_{k}| < ε$

Jag använde mig ovan av den omvända triangelolikheten.

För att den andra talföljden $\{s_{n}\}$ skall vara konvergent, måste den vara en Cauchyföljd, enligt Cauchys konvergenskriterium. När jag visar att denna talföljd är en Cauchyföljd enligt definitionen, så får jag uttrycket jag fick ovan då jag använde mig av den omvända triangelolikheten. Således vet vi att det finns ett N sådant att även denna talföljd är en Cauchyföljd.

Stämmer detta resonemang?

Nej det låter inte som det stämmer. Det kan inte ta bort absolutbeloppen sådär, som du gör. Säg att x_1 = 0, x_2 = -1, x_3 = 1 och att n = 1, m = 3. Då säger du att

$|(|0| + |- 1| + |1|) - | 0 || = 2 \leq |0 + (- 1) + 1 - 0| = 0$

vilket inte stämmer. Utan du har att om n > m så är

$S_{n} - S_{m} = \sum_{k = m + 1}^{n} | x_{k} |$

Använd detta för att göra en övre uppskattning på $|s_n - s_m|$ .

För att återkoppla till din tidigare tråd, notera att

$| s_{n + 1} - s_{n} | = | x_{n + 1} |$

Kan du använda det "generella" resultatet jag visade?

Hej!

Du vill visa att avståndet $|s_{n} - s_{m}|$ kan bli hur litet som helst, om du bara ser till att välja n och m tillräckligt stora (oberoende av varandra).

Låt $m < n$ för ett fixerat $m$ och ett godtyckligt $n$ . Då är

$s_{n} = s_{m} + \sum_{m+1}^{n}x_{k}$

och avståndet blir

$|s_{n}-s_{m}| = |\sum_{m+1}^{n}x_{k}| \leq \sum_{m+1}^{n}|x_{k}| \leq \sum_{m+1}^{\infty}|x_{k}|$ .

Eftersom talföljden $(S_{n})$ är konvergent så följer det att talet $\sum_{m+1}^{\infty}|x_k|$ kan fås att vara hur litet som helst, om man bara väljer $m$ tillräckligt stort. Av detta följer det att talföljden $(s_n)$ är en Cauchyföljd.

Albiki

Jag gjorde på följande sätt. Ser det rätt ut?

För $\{S_{n}\}$ gäller, eftersom den är konvergent (jag antar att $m > n, m = n + k, k > 0$ )

$|\sum_{i = 1}^{n + k} |x_{i}| - \sum_{i = 1}^{n} |x_{i}|| \leq \sum_{i = 1}^{n + k} |x_{i}| + \sum_{i = 1}^{n} |x_{k}| \leq 2 \sum_{i = 1}^{n} |x_{i}| + \sum_{i = 1}^{k} |x_{n + i}| < ε$

För $\{s_{n}\}$ fås då

$|\sum_{i = 1}^{n + k} x_{i} - \sum_{i = 1}^{n} x_{i}| = |\sum_{i = 1}^{k} x_{n + i}| \leq \sum_{i = 1}^{k} |x_{n + i}| < ε$

Nej det där ser inte korrekt ut. Du kan inte anta att

$2 \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} | + \sum_{i = 1}^{k} | x_{n + i} | < ε$

Var kommer det ifrån? Det behöver inte vara sant att det till vänster går att göra hur litet man vill. Men notera att detta inte är nödvändigt för själva argumentet du för egentligen. Du har att

$\sum_{i = 1}^{k} | x_{n + i} |$

Går att göra så liten man vill, bara man väljer n tillräckligt stort, eftersom serien är konvergent. Så därför får man den olikhet du skriver i slutet.

Okej.

I den första raden så bildade jag $|S_{m} - S_{n}|$ , och använde sedan triangelolikheten. I nästa steg använde jag triangelolikheten igen, och delade upp summan från 1 till n och n+1 till n+k.

$\sum_{i = 1}^{n + k} |x_{i}| + \sum_{i = 1}^{n} |x_{i}| \leq \sum_{i = 1}^{n} |x_{i}| + \sum_{i = 1}^{k} |x_{n + i}| + \sum_{i = 1}^{n} |x_{i}| = 2 \sum_{i = 1}^{n} |x_{i}| + \sum_{i = 1}^{k} |x_{n + i}| < ε$

Då vet jag väl att denna summa måste vara mindre än epsilon, om n är tillräckligt stort? Jag har alltså använt mig av definitionen för en Cauchyföljd för $S_{n}$ .

Nej det följer inte. Du vet ju att

$|\sum_{i = 1}^{n + k} | x_{i} | - \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} || < ε$

samt att

$|\sum_{i = 1}^{n + k} | x_{i} | - \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} || \leq 2 \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} | + \sum_{i = 1}^{k} | x_{i + n} |$

Från detta kan du inte dra slutsatsen att det i HL på sista olikheten här är mindre än $\epsilon$ . Jämför det med att

$5 < 6$

$5 < 10$

Detta betyder inte att $10 < 6$ .

Ojdå. Det var en ordentlig groda. Tack för hjälpen!

Jag tror faktiskt att jag är rätt så dålig på det här med olikheter, vilket naturligtvis är ett problem när man börjat plugga analys... Nåja, jag vänjer väl mig med tiden och med övning (hoppas jag)...

Tack än en gång!

Svara Avbryt

Visa senaste svar