3 svar
70 visningar
InteDenSmartaste 21
Postad: 10 jan 10:12

ODE med Fourier transform

Hejsan!
Jag är riktigt dålig på Fourier transformen och skulle verkligen uppskatta lite vägledning på denna uppgift. För det första tror jag inte att det algebraiska uttryck och därmed det uttryck för F[f] som jag har fått fram stämmer. För det andra så vet jag inte riktigt hur man sedan går från F[f](w) till f(x) igen (det här kapitlet är innan introduktionen till invers-transformen).

D4NIEL 2615
Postad: 10 jan 21:44 Redigerad: 10 jan 21:51

Jag är inte helt med på vad du gör, men tänk på att xf'(x)+f(x)=(xf(x))'xf^\prime(x)+f(x)=(xf(x))^\prime och om jag inte ser fel har du transformationer som kan fixa det åt dig upp till höger. Ta bara ett steg i taget och håll ordning på vad som är funktionen.

Mer hjälp

Visa spoiler

Du kommer landa i den separabla diffekvationen df^dω=-ωf^\frac{d\hat{f}}{d\omega}=-\omega\hat{f} som ger en enkel exponentialfunktion i frekvensplanet. Sedan får du använda en transformation baklänges (exponentialfunktioner är särskilt enkla att transformera!). Tillämpa slutligen randvillkoren.

 

InteDenSmartaste 21
Postad: 11 jan 00:57

Tack så jättemycket! Jag vet inte riktigt hur jag fick det så pass fel först, men insåg sen precis som du sa att det blev en mycket enklare diff-ekvation. Jag får att F=ce^(-w^2/2). Finns det något enklare sätt att beräkna inversen för att få fram f, eller måste jag beräkna den här integralen? 


D4NIEL 2615
Postad: 11 jan 02:01 Redigerad: 11 jan 02:13

Det enklaste är att använda en formelsamling, t.ex. Beta, eller läroboken där härledningen förmodligen dyker upp tidigt. 

F[e-ax2/2]=2πae-ω2/2a\mathfrak{F}[e^{-ax^2/2}]=\sqrt{\frac{2\pi}{a}}e^{-\omega^2/2a}

Jag tror det är tänkt att ni ska använda den, åtminstone om det är första gången ni stöter på det här och ännu inte lärt er den inversa transformationen. a=1a=1 i ditt fall.

Vill du härleda den själv för hand bör du känna till standardintegralen

-e-y2dy=20e-y2dy=π\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy=2\int_{0}^{\infty}e^{-y^2}dy=\sqrt{\pi}

Hur du går till väga beror på vilken årskurs och vad du känner till sedan tidigare. Min favorit är att

Visa spoiler kvadratkomplettera exponenten och sedan använda Cauchys integralsats. Integrera över den horisontella linjen Im(x)=-ω/aIm(x)=-\omega/a istället för den reella axeln.

En annan vanlig metod är att studera besläktade lösningar till den ekvation du studerar, f'(x)+axf(x)=0f^\prime(x)+axf(x)=0, den har inte helt oväntat lösningen e-ax2/2e^{-ax^2/2}
Svara Avbryt
Close