1 svar
25 visningar
Eugenia 147
Postad: 29 feb 12:40

Ojämna rötter

Ojämna rötter ska alltid producera reala svar?

" odd roots of real numbers (even
negative real numbers) are real number"  > jag tog detta från  precalculus bok och försöker smälta in det. 

Kan någon förklara hur blir det reala svar? 

Jag tänker på ett exempel -83 = (-2)33    och de treorna tar ut varandra då, ska jag tänka så?

Yngve 37790 – Livehjälpare
Postad: 29 feb 12:59 Redigerad: 29 feb 13:00

Antingen förstår jag inte eller så håller jag inte med.

Sätt z=-83z=\sqrt[3]{-8}

Då är z3=-8z^3=-8

Vi skriver om på polär form:

  • Högerledet blir 2eiπ2e^{i\pi}
  • Vänsterledet blir reivre^{iv}

Då får vi att re3iv=8eiπre^{3iv}=8e^{i\pi}

De Moivres formel ger oss nu

  • r=2r=2
  • v=π3+n2π3v=\frac{\pi}{3}+n\frac{2\pi}{3}

Det ger oss de tre lösningarna

  • z1=2eiπ3z_1=2e^{i\frac{\pi}{3}}
  • z2=2eiπz_2=2e^{i\pi}
  • z3=2ei5π3z_3=2e^{i\frac{5\pi}{3}}

Tillägg: 29 feb 2024 17:04

EDIT - Det jag skrev tidigare stämmer inte.

y3\sqrt[3]{y} definieras som det reella tal xx som uppfyller x3=yx^3=y.

Eftersom (-2)3=-8(-2)^3=-8 så är -83=-2\sqrt[3]{-8}=-2.

Jag gjorde det alltför vanliga misstaget att blanda ihop det väldefinierade talet y3\sqrt[3]{y} med de multipla lösningarna till ekvationen x3=yx^3=y.

Jämför med:

4\sqrt{4} är lika med 22, inte ±2\pm{2}

Svara Avbryt
Close