Ojämna rötter

Antingen förstår jag inte eller så håller jag inte med.

Sätt $z=\sqrt[3]{-8}$

Då är $z^3=-8$

Vi skriver om på polär form:

• Högerledet blir $2e^{i\pi}$
• Vänsterledet blir $re^{iv}$

Då får vi att $re^{3iv}=8e^{i\pi}$

De Moivres formel ger oss nu

• $r=2$
• $v=\frac{\pi}{3}+n\frac{2\pi}{3}$

Det ger oss de tre lösningarna

• $z_1=2e^{i\frac{\pi}{3}}$
• $z_2=2e^{i\pi}$
• $z_3=2e^{i\frac{5\pi}{3}}$

Tillägg: 29 feb 2024 17:04

EDIT - Det jag skrev tidigare stämmer inte.

$\sqrt[3]{y}$ definieras som det reella tal $x$ som uppfyller $x^3=y$.

Eftersom $(-2)^3=-8$ så är $\sqrt[3]{-8}=-2$.

Jag gjorde det alltför vanliga misstaget att blanda ihop det väldefinierade talet $\sqrt[3]{y}$ med de multipla lösningarna till ekvationen $x^3=y$.

Jämför med:

$\sqrt{4}$ är lika med $2$, inte $\pm{2}$