8 svar
179 visningar
Maria123 289
Postad: 29 sep 2022 20:05

Olikhet med integraler

Hej, i följande uppgift behöver jag enbart bevisa att den ena funktionen är mindre än den andra, för alla  a < x < b. Om vi säger att f(x) = (sin x)^2 och g(x) = |sin x| så behöver jag bara bevisa att f(x) < g(x). Det är allmönt känt att (sin x) pendlar mellan -1 och 1. Om vi tex låter x = 0,5 så blir f(0,5) = 0,25 medan g(0,5) = 0,5. På så vis stämmer olikheten att f(x) < g(x). Jag har testat stoppa in alla möjliga x-värden mellan -1 och 1 och då stämmer olikheten, alla gånger utom när jag stoppar in x = -1, x=1 eller x=0. För då blir f(x) = g(x) och då stämmer inte olikheten som jag ska bevisa. Hur ska man egentligen tänka?

Laguna Online 29873
Postad: 29 sep 2022 20:23

Det borde gå bra att dela upp integrationen i flera intervall, kanske några där likhet gäller någonstans, men minst ett där olikhet alltid gäller.

Maria123 289
Postad: 29 sep 2022 20:32

Hur menar du dela upp i intervall? Kan du visa med exempel?

Laguna Online 29873
Postad: 29 sep 2022 20:49

Om a = 0 så kan du använda intervallen [0; 0,1] och [0,1; b].

PATENTERAMERA 5880
Postad: 29 sep 2022 21:46

En liten ledning:

f(x) = sin2(x) - |sin(x)| = |sin(x)|(|sin(x)| - 1)  0. Med likhet endast då x = nπ2n.

Välj a’ och b’ sådana att a < a’ < b’ < b och så att x  [a’, b’] implicerar att x nπ2 för alla n.

Då gäller att

abfxdx = aa'fxdx + a'b'fxdx + b'bfxdx   (1).

Om du nu använder integralkalkylens medelvärdessats på (1) så kan du visa att abfxdx<0, vilket sedan implicerar det sökta resultatet.

Maria123 289
Postad: 30 sep 2022 11:38

Men man ska kunna lösa uppgiften enbart med hjälp av de grundläggande egenskaperna för integraler.

PATENTERAMERA 5880
Postad: 30 sep 2022 12:08 Redigerad: 30 sep 2022 12:09

Har du en lista på vad som räknas som grundläggande egenskaper?

PATENTERAMERA 5880
Postad: 1 okt 2022 19:57

Här är en lista från KTH med grundläggande egenskaper hos integraler. Du klarar uppgiften med vad som står på första sidan.

Tomten 1805
Postad: 2 okt 2022 10:02

Det verkar som att du redan lyckats visa att f<=g i hela det givna intervallet. För att visa strikt olikhet mellan de båda integralerna räcker det då att visa strikt olikhet f<g på något Öppet Delintervall av a<x<b.

Svara
Close