Olikhet med matematisk induktion

Kanske jag är över min sängtid, men jag förstår ej

Eftersom vi garanterat vet att 3^p > p^3 (enligt antagandet) vet vi garanterat att 3 * 3^p > 3 * p^3. Jag utgår från antagandet. Alltså : visar jag att 3p^3 > (p+1)^3 vet jag även med säkerhet att 3^(p+1) är större än (p+1)^3. Förstår du mitt resonemang?

Anonym_15 skrev:

Eftersom vi garanterat vet att 3^p > p^3 (enligt antagandet) vet vi garanterat att 3 * 3^p > 3 * p^3. Jag utgår från antagandet. Alltså : visar jag att 3p^3 > (p+1)^3 vet jag även med säkerhet att 3^(p+1) är större än (p+1)^3. Förstår du mitt resonemang?

Ja, jag börjar komma ut ur dimman nu....

Men vad händer här

Var tar 2p vägen?

Slarvfel av mig! Såklart ska det stå 3p. Men annars, fungerar metoden? Dvs. utgå från antagande...derivera....visa att den ena derivatan är större än den andra osv.

Man kan derivera, det är ok, men själv tycker jag att man kanske inte ska göra det i sådana här induktionsbevis (personlig preferens, men det kommer främst göra beviset längre). Man kan visa påståendet utan induktion genom att derivera $\frac{3^x}{x^3}$ och visa att den alltid är positiv för $x>3$ osv. 

Du kan visa att $2p^3 > 3p^2 + p + 1$ såhär istället:

Då $p>3$ har vi att $2p^3 = 2p\cdot p^2 > 6p^2 = 3p^2 + {\color{red}2p^2} + {\color{magenta}p^2} > 3p^2 + {\color{red}p} + {\color{magenta}1}$.

Alltså ersätter vi en av $p$:na med $3$ (gör hela uttrycket mindre) och sedan byter ut några $p$-termer mot uppenbart mindre termer för att få fram olikheten vi vill ha.