Olikhet med matematisk induktion

Kanske jag är över min sängtid, men jag förstår ej

Eftersom vi garanterat vet att 3^p > p^3 (enligt antagandet) vet vi garanterat att 3 * 3^p > 3 * p^3. Jag utgår från antagandet. Alltså : visar jag att 3p^3 > (p+1)^3 vet jag även med säkerhet att 3^(p+1) är större än (p+1)^3. Förstår du mitt resonemang?

Anonym_15 skrev:

Eftersom vi garanterat vet att 3^p > p^3 (enligt antagandet) vet vi garanterat att 3 * 3^p > 3 * p^3. Jag utgår från antagandet. Alltså : visar jag att 3p^3 > (p+1)^3 vet jag även med säkerhet att 3^(p+1) är större än (p+1)^3. Förstår du mitt resonemang?

Ja, jag börjar komma ut ur dimman nu....

Men vad händer här

Var tar 2p vägen?

Slarvfel av mig! Såklart ska det stå 3p. Men annars, fungerar metoden? Dvs. utgå från antagande...derivera....visa att den ena derivatan är större än den andra osv.

Man kan derivera, det är ok, men själv tycker jag att man kanske inte ska göra det i sådana här induktionsbevis (personlig preferens, men det kommer främst göra beviset längre). Man kan visa påståendet utan induktion genom att derivera $\frac{3^x}{x^3}$ och visa att den alltid är positiv för $x>3$ osv. 

Du kan visa att $2p^3 > 3p^2 + p + 1$ såhär istället:

Då $p>3$ har vi att $2p^3 = 2p\cdot p^2 > 6p^2 = 3p^2 + {\color{red}2p^2} + {\color{magenta}p^2} > 3p^2 + {\color{red}p} + {\color{magenta}1}$.

Alltså ersätter vi en av $p$:na med $3$ (gör hela uttrycket mindre) och sedan byter ut några $p$-termer mot uppenbart mindre termer för att få fram olikheten vi vill ha.

Jag ser ett problem alldeles i början av induktionsbeviset i #1.

• Du har visat att olikheten $3^n > n^3$ gäller då $n=1$ som ditt basfall.
• Sedan har du motiverat att man kan stega sig från $n=p$ till $n=p+1$ förutsatt att $p > 3$.

Men du startade med $n=1$. Induktionssteget funkar inte för ett sådant lågt värde på $n$! Från basfallet $n=1$ kan man alltså inte få olikheten för högre värden på $n$ m.h.a. induktionssteget.

Man vill visa att olikheten $3^n > n^3$ gäller för heltal $n>3$. Som basfallet tar man det minsta $n$-värdet för vilket olikheten skall gälla, d.v.s. basfallet är $n=4$.

$3^4 = 81$ är verkligen större än $4^3 = 64$, så olikheten är sann då $n=4$. Därefter kan man stega sig uppåt m.h.a. induktionssteget.

Just det. Så jag hade fel i basfallet, men utöver det är det väl korrekt? Sedan förstår jag inte AlexMu:s lösning i inlägg 6. Vad menas med att man kan "byta ut" p:na ? Varför får man göra det? När vet man vad man får "byta ut" och inte?

Jag ersätter $p$ mot något som jag vet är mindre. Hela antagelsen är ju att $p>3$. Så vart som helst där vi har $p$ kan vi ersätta $p$ med $3$ för att göra hela uttrycket mindre. Det utnyttjar jag genom att byta ut vissa saker som gör att vi får fram det andra uttrycket och på så sätt visar olikheten.