Om en cirkel och kvadrat har samma omkrets har cirkeln alltid större area, hur?

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Kalla kvadratens sidlängd a och cirkelns radie r.

Ta nu fram ett uttryck som beskriver kvadratens omkrets och ett annat som beskriver cirkelns omkrets.

Att cirkeln och kvadraten har samma onkrets innebär att dessa båda uttryck har samma värde.

Sätt därför dessa uttryck lika med varandra så får du ett samband mellan a och r.

Ta sedan fram två nya uttryck, ett förkvadratens area och ett för cirkelns area.

Med hjälp av sambandet kan du nu klura ut det som efterfrågas.

Fråga om du kör fast.

Tack för svaret Yngve! Jag följde dina instruktioner och fick till:

4r^2pi^2 =/= r^2pi16

4 =/= 16

Verkar min lösning stämma eller har jag misstolkat något? Och om det är rätt, räcker det att förklara att 16 är fyra gånger större än 4, alltså cirkeln har en area som är dubbelt så stor som kvadratens?

lena345 skrev:

4r^2pi^2 =/= r^2pi16

4 =/= 16

Jag förstår inte riktigt vad du kommit fram till och hur.

Kan du visa alla räknesteg som leder fram hit?

Och gärna förklara hur du tänkte?

Absolut!

omkrets cirkel = r*2*pi     omkrets kvadrat = 4a

omkrets cirkel = omkrets kvadrat         ->         r*2*pi = 4a     sätter dem lika med varandra eftersom de är värda lika mycket

för att räkna ut längden på en för sida för kvadraten tar jag omkretsen delat på fyra -> (r*2*pi)/4

arean på kvadraten är sida multiplicerat med sida, ((r*2*pi)/4)^2 ->        (4r^2pi^2)/ 16

sen sätter jag arena på kvadraten bredvid arean på cirkeln, använder "inte lika med" (=/=) eftersom de ej är lika med varandra

(4r^2pi^2)/16   =/=     r^2pi*16

multiplicerar båda leden med 16     4r^2pi^2 =/= r^2pi*16

sen stryker jag r^ på båda sidor och jag stryker ett pi från båda sidor

nu inser jag att jag gjorde ett misstag första gången då jag tog bort pi helt från båda sidorna, missade att pi i VL är upphöjt till två

då får jag 4*pi =/= 16

4 gånger pi är lite mer än 12, därav är cirkelns area större

Verkar denna lösning korrekt?

Mvh. Lena

lena345 skrev:

Absolut!

 

omkrets cirkel = r*2*pi  

Om cirkelns omkrets är $2\pi r$ så är cirkelns radie lika med r.

omkrets kvadrat = 4a

omkrets cirkel = omkrets kvadrat         ->         r*2*pi = 4a     sätter dem lika med varandra eftersom de är värda lika mycket

för att räkna ut längden på en för sida för kvadraten tar jag omkretsen delat på fyra -> (r*2*pi)/4

arean på kvadraten är sida multiplicerat med sida, ((r*2*pi)/4)^2 ->        (4r^2pi^2)/ 16

sen sätter jag arena på kvadraten bredvid arean på cirkeln, använder "inte lika med" (=/=) eftersom de ej är lika med varandra

(4r^2pi^2)/16   =/=     r^2pi*16

Det står ju i uppgiften att man skall visa att cirkelns area är större än kvadratens area, så skriv att
$\frac{4r^2\pi^2}{16}<\pi r^2$. Din area är inte korrekt, så därför är inte resten riktigt.

...

Verkar denna lösning korrekt?

Mvh. Lena

Nej.

lena345 skrev:

omkrets cirkel = r*2*pi     omkrets kvadrat = 4a

OK

omkrets cirkel = omkrets kvadrat         ->         r*2*pi = 4a     sätter dem lika med varandra eftersom de är värda lika mycket

OK

för att räkna ut längden på en för sida för kvadraten tar jag omkretsen delat på fyra -> (r*2*pi)/4

OK, men du kan förenkla till a = r•pi/2

arean på kvadraten är sida multiplicerat med sida, ((r*2*pi)/4)^2 ->        (4r^2pi^2)/ 16

OK, men förenklat blir det (r•pi/2)²

sen sätter jag arena på kvadraten bredvid arean på cirkeln, använder "inte lika med" (=/=) eftersom de ej är lika med varandra

(4r^2pi^2)/16   =/=     r^2pi*16

Nej, till höger om "olikhetstecknet" ska det bara stå pi•r²

multiplicerar båda leden med 16     4r^2pi^2 =/= r^2pi*16

Ja, men förenklat blir det r²•pi² =/= 4r²pi

sen stryker jag r^ på båda sidor och jag stryker ett pi från båda sidor

nu inser jag att jag gjorde ett misstag första gången då jag tog bort pi helt från båda sidorna, missade att pi i VL är upphöjt till två

då får jag 4*pi =/= 16

4 gånger pi är lite mer än 12, därav är cirkelns area större

Verkar denna lösning korrekt?

Ja, men se kommentarer ovan.

Det kan även bli tydligare. Förslag:

Omkrets kvadrat O_k = 4a

Omkrets cirkel O_c = 2pi•r

O_k = O_c ger nu 4a = 2pi•r, dvs a = pi•r/2

Area kvadrat A_k = a² = (pi•r/2)² = pi²•r²/4

Area cirkel A_c = pi•r²

Bilda nu kvoten mellan cirkelns och kvadratens area:

A_c/A_k = pi•r²/(pi²•r²/4) = 4pi•r²/(pi²•r²) = 4/pi.

Eftersom 4 > pi så är kvoten > 1, vilket betyder att cirkelns area är större än kvadratens area.