Om ett bråk är större än eller mindre än
Hej
Om vi säger att vi ska jämföra bråken 14/15 med 15/16. Hur kan man avgöra vilket som är mindre än eller större än? Jag vet att 14/16 är mindre än 15/16 och 14/15 är mindre än 15/15. Men finns det något annat sätt man kan tänka när man har olika tal på nämnaren?
Tråd flyttad från Kluringar till Matte 1. Kluringforumet är endast till för matematiska delikatesser du vill bjuda andra på. /Smutstvätt, moderator
Hur mycket fattas upp till en hel?
Bubo skrev:Hur mycket fattas upp till en hel?
15/15 och 16/16
Bulbo menar "Hur mycket saknas från 14/15 resp. 15/16 för att det skall bli en hel?"
Trinity2 skrev:Bulbo menar "Hur mycket saknas från 14/15 resp. 15/16 för att det skall bli en hel?"
1/15 och 1/16?
Bubo skrev:Hur mycket fattas upp till en hel?
Bubo skrev:Bubo skrev:Hur mycket fattas upp till en hel?
För att 14/15 ska komma upp till en hel fattas det 1/15 och för att 15/16 ska komma upp till en hel fattas det 1/16.
Om du vill vara 100 säker är det alltid bäst att göra om bråken till samma nämnare
ItzErre skrev:Om du vill vara 100 säker är det alltid bäst att göra om bråken till samma nämnare
Hur menar du då?
Mahiya99 skrev:Bubo skrev:Bubo skrev:Hur mycket fattas upp till en hel?
För att 14/15 ska komma upp till en hel fattas det 1/15 och för att 15/16 ska komma upp till en hel fattas det 1/16.
Nu kan du säkert lista ut svaret.
Mahiya99 skrev:ItzErre skrev:Om du vill vara 100 säker är det alltid bäst att göra om bråken till samma nämnare
Hur menar du då?
Om du vill jämföra 1/4 och 1/3 med varandra kan du skriva om dom som 3/12 och 4/12
ItzErre skrev:Mahiya99 skrev:ItzErre skrev:Om du vill vara 100 säker är det alltid bäst att göra om bråken till samma nämnare
Hur menar du då?
Om du vill jämföra 1/4 och 1/3 med varandra kan du skriva om dom som 3/12 och 4/12
Yes men gällande 14/15 och 15/16 är det ju ganska svårt speciellt utan miniräknare. Det är ju stora tal. Kan ej komma på ett gemensamt nämnare för dessa två
Mahiya99 skrev:ItzErre skrev:Mahiya99 skrev:ItzErre skrev:Om du vill vara 100 säker är det alltid bäst att göra om bråken till samma nämnare
Hur menar du då?
Om du vill jämföra 1/4 och 1/3 med varandra kan du skriva om dom som 3/12 och 4/12
Yes men gällande 14/15 och 15/16 är det ju ganska svårt speciellt utan miniräknare. Det är ju stora tal. Kan ej komma på ett gemensamt nämnare för dessa två
Multiplicera båda bråkets nämnare och täljare, med det andra talets nämnare. På så sätt har får du kvar ett tal av samma värde, men de har nu samma nämnare.
Du var på rätt spår.
Antag två lika stora tårtor.
På den ena saknas 1/15 och på den andra saknas 1/16 (som är mindre än 1/15)
Vilken av tårtorna har mest kvar?
Trinity2 skrev:Du var på rätt spår.
Antag två lika stora tårtor.
På den ena saknas 1/15 och på den andra saknas 1/16 (som är mindre än 1/15)
Vilken av tårtorna har mest kvar?
Hm 1/16? Så 1/16 är mindre än 1/15 för att nämnaren ökar så blir kvoten mindre?
pluggare77 skrev:Mahiya99 skrev:ItzErre skrev:Mahiya99 skrev:ItzErre skrev:Om du vill vara 100 säker är det alltid bäst att göra om bråken till samma nämnare
Hur menar du då?
Om du vill jämföra 1/4 och 1/3 med varandra kan du skriva om dom som 3/12 och 4/12
Yes men gällande 14/15 och 15/16 är det ju ganska svårt speciellt utan miniräknare. Det är ju stora tal. Kan ej komma på ett gemensamt nämnare för dessa två
Multiplicera båda bråkets nämnare och täljare, med det andra talets nämnare. På så sätt har får du kvar ett tal av samma värde, men de har nu samma nämnare.
Hm hur ställer jag upp menar du?
Här en lösning för den som gått igenom derivata.
Låt oss definiera en funktion f(x) för x 0 enligt f(x) = x/(x+1).
Vi ser att f(14) = 14/15 och att f(15) = 15/16.
Vi deriverar f och finner att f’(x) = 1/(1+x)2, så derivatan är större än noll för alla x, vilket innebär att funktionen är strikt växande.
Eftersom funktionen är strikt växande så måste det gälla att f(14) < f(15).
PATENTERAMERA skrev:Här en lösning för den som gått igenom derivata.
Låt oss definiera en funktion f(x) för x enligt
f(x) = x/(x+1). Vi ser att f(14) = 14/15 och att f(15) = 15/16.
Vi deriverar f och finner
Är det ej krångligt att använda derivata under ett högskole prov fråga som tex denna där miniräknare ej är tillåten?
Mahiya99 skrev:PATENTERAMERA skrev:Här en lösning för den som gått igenom derivata.
Låt oss definiera en funktion f(x) för x enligt
f(x) = x/(x+1). Vi ser att f(14) = 14/15 och att f(15) = 15/16.
Vi deriverar f och finner
Är det ej krångligt att använda derivata under ett högskole prov fråga som tex denna?
Det är nog meningen att man skall tänka på den saknade biten, men man kan även studera
14/15-15/16.
Täljaren blir
14*16-15^2 = (15-1)(15+1)-15^2 = 15^2 - 1 - 15^2 = -1
som är negativt varför
14/15-15/16 < 0
14/15 < 15/16
(Nämnaren behöver du inte betrakta, den är positiv.)
Mahiya99 skrev:PATENTERAMERA skrev:Här en lösning för den som gått igenom derivata.
Låt oss definiera en funktion f(x) för x enligt
f(x) = x/(x+1). Vi ser att f(14) = 14/15 och att f(15) = 15/16.
Vi deriverar f och finner
Är det ej krångligt att använda derivata under ett högskole prov fråga som tex denna där miniräknare ej är tillåten?
Stod ingenting om att det var högskoleprov. Om du tittar på lösningen så är den enkel (om man kan derivera), ingen miniräknare krävs.
PATENTERAMERA skrev:Här en lösning för den som gått igenom derivata.
Låt oss definiera en funktion f(x) för x 0 enligt f(x) = x/(x+1).
Vi ser att f(14) = 14/15 och att f(15) = 15/16.
Vi deriverar f och finner att f’(x) = 1/(1+x)2, så derivatan är större än noll för alla x, vilket innebär att funktionen är strikt växande.
Eftersom funktionen är strikt växande så måste det gälla att f(14) < f(15).
Hur vet du att den är strikt växande? Du har hoppat en del steg så jag hänger ej riktigt med efter deriveringen... Jag tror ej jag förstår det där sättet tyvärr. Tack ändå!
PATENTERAMERA skrev:Mahiya99 skrev:PATENTERAMERA skrev:Här en lösning för den som gått igenom derivata.
Låt oss definiera en funktion f(x) för x enligt
f(x) = x/(x+1). Vi ser att f(14) = 14/15 och att f(15) = 15/16.
Vi deriverar f och finner
Är det ej krångligt att använda derivata under ett högskole prov fråga som tex denna där miniräknare ej är tillåten?
Stod ingenting om att det var högskoleprov. Om du tittar på lösningen så är den enkel (om man kan derivera), ingen miniräknare krävs.
Notera att f(x)=1-1/(x+1) är strängt växande vilket inses utan derivata eller miniräknare. Detta är analogt med tårtresonemanget.
Trinity2 skrev:PATENTERAMERA skrev:Mahiya99 skrev:PATENTERAMERA skrev:Här en lösning för den som gått igenom derivata.
Låt oss definiera en funktion f(x) för x enligt
f(x) = x/(x+1). Vi ser att f(14) = 14/15 och att f(15) = 15/16.
Vi deriverar f och finner
Är det ej krångligt att använda derivata under ett högskole prov fråga som tex denna där miniräknare ej är tillåten?
Stod ingenting om att det var högskoleprov. Om du tittar på lösningen så är den enkel (om man kan derivera), ingen miniräknare krävs.
Notera att f(x)=1-1/(x+1) är strängt växande vilket inses utan derivata eller miniräknare. Detta är analogt med tårtresonemanget.
Men hur vet man det? Kan du visa steg för steg hur du vet att det är strängt växande...
Mahiya99 skrev:PATENTERAMERA skrev:Här en lösning för den som gått igenom derivata.
Låt oss definiera en funktion f(x) för x 0 enligt f(x) = x/(x+1).
Vi ser att f(14) = 14/15 och att f(15) = 15/16.
Vi deriverar f och finner att f’(x) = 1/(1+x)2, så derivatan är större än noll för alla x, vilket innebär att funktionen är strikt växande.
Eftersom funktionen är strikt växande så måste det gälla att f(14) < f(15).
Hur vet du att den är strikt växande? Du har hoppat en del steg så jag hänger ej riktigt med efter deriveringen... Jag tror ej jag förstår det där sättet tyvärr. Tack ändå!
Vi har att
f(x) = x/(x+1) = 1 - 1/(x+1)
Då x ökar minskar 1/(x+1) varför du tar bort mindre och mindre från 1 varför f(x) ökar då x ökar.
Trinity2 skrev:Mahiya99 skrev:PATENTERAMERA skrev:Här en lösning för den som gått igenom derivata.
Låt oss definiera en funktion f(x) för x 0 enligt f(x) = x/(x+1).
Vi ser att f(14) = 14/15 och att f(15) = 15/16.
Vi deriverar f och finner att f’(x) = 1/(1+x)2, så derivatan är större än noll för alla x, vilket innebär att funktionen är strikt växande.
Eftersom funktionen är strikt växande så måste det gälla att f(14) < f(15).
Hur vet du att den är strikt växande? Du har hoppat en del steg så jag hänger ej riktigt med efter deriveringen... Jag tror ej jag förstår det där sättet tyvärr. Tack ändå!
Vi har att
f(x) = x/(x+1) = 1 - 1/(x+1)
Då x ökar minskar 1/(x+1) varför du tar bort mindre och mindre från 1 varför f(x) ökar då x ökar.
Så f(x) ökar och minskar när x ökar när man drar bort 1? Hur kan f(x) bara öka när kvoten blir mindre ju större x blir och man drar bort 1? Får ej ihop det nu.
Mahiya99 skrev:PATENTERAMERA skrev:Här en lösning för den som gått igenom derivata.
Låt oss definiera en funktion f(x) för x 0 enligt f(x) = x/(x+1).
Vi ser att f(14) = 14/15 och att f(15) = 15/16.
Vi deriverar f och finner att f’(x) = 1/(1+x)2, så derivatan är större än noll för alla x, vilket innebär att funktionen är strikt växande.
Eftersom funktionen är strikt växande så måste det gälla att f(14) < f(15).
Hur vet du att den är strikt växande? Du har hoppat en del steg så jag hänger ej riktigt med efter deriveringen... Jag tror ej jag förstår det där sättet tyvärr. Tack ändå!
Om derivatan är positiv så är funktionen strikt växande. Jag antar att du känner till detta från gymnasiet.
Eftersom (1+x)2 är ett positivt tal för alla x 0 så är även 1/(1+x)2 ett positivt tal. Derivatan är därför positiv och funktionen strikt växande.
PATENTERAMERA skrev:Mahiya99 skrev:PATENTERAMERA skrev:Här en lösning för den som gått igenom derivata.
Låt oss definiera en funktion f(x) för x 0 enligt f(x) = x/(x+1).
Vi ser att f(14) = 14/15 och att f(15) = 15/16.
Vi deriverar f och finner att f’(x) = 1/(1+x)2, så derivatan är större än noll för alla x, vilket innebär att funktionen är strikt växande.
Eftersom funktionen är strikt växande så måste det gälla att f(14) < f(15).
Hur vet du att den är strikt växande? Du har hoppat en del steg så jag hänger ej riktigt med efter deriveringen... Jag tror ej jag förstår det där sättet tyvärr. Tack ändå!
Om derivatan är positiv så är funktionen strikt växande. Jag antar att du känner till detta från gymnasiet.
Eftersom (1+x)2 är ett positivt tal för alla x 0 så är även 1/(1+x)2 ett positivt tal. Derivatan är därför positiv och funktionen strikt växande.
Vilka x satte du in i den deriverade funktionen för att avgöra om det är strikt växande eller avtagande?
Mahiya99 skrev:PATENTERAMERA skrev:Mahiya99 skrev:PATENTERAMERA skrev:Här en lösning för den som gått igenom derivata.
Låt oss definiera en funktion f(x) för x 0 enligt f(x) = x/(x+1).
Vi ser att f(14) = 14/15 och att f(15) = 15/16.
Vi deriverar f och finner att f’(x) = 1/(1+x)2, så derivatan är större än noll för alla x, vilket innebär att funktionen är strikt växande.
Eftersom funktionen är strikt växande så måste det gälla att f(14) < f(15).
Hur vet du att den är strikt växande? Du har hoppat en del steg så jag hänger ej riktigt med efter deriveringen... Jag tror ej jag förstår det där sättet tyvärr. Tack ändå!
Om derivatan är positiv så är funktionen strikt växande. Jag antar att du känner till detta från gymnasiet.
Eftersom (1+x)2 är ett positivt tal för alla x 0 så är även 1/(1+x)2 ett positivt tal. Derivatan är därför positiv och funktionen strikt växande.
Vilka x satte du in i den deriverade funktionen för att avgöra om det är strikt växande eller avtagande?
Derivatan är positiv för alla värden på x i vår definitionsmängd (x 0). Speciellt är derivatan positiv för alla x mellan 14 och 15.
PATENTERAMERA skrev:Mahiya99 skrev:PATENTERAMERA skrev:Mahiya99 skrev:PATENTERAMERA skrev:Här en lösning för den som gått igenom derivata.
Låt oss definiera en funktion f(x) för x 0 enligt f(x) = x/(x+1).
Vi ser att f(14) = 14/15 och att f(15) = 15/16.
Vi deriverar f och finner att f’(x) = 1/(1+x)2, så derivatan är större än noll för alla x, vilket innebär att funktionen är strikt växande.
Eftersom funktionen är strikt växande så måste det gälla att f(14) < f(15).
Hur vet du att den är strikt växande? Du har hoppat en del steg så jag hänger ej riktigt med efter deriveringen... Jag tror ej jag förstår det där sättet tyvärr. Tack ändå!
Om derivatan är positiv så är funktionen strikt växande. Jag antar att du känner till detta från gymnasiet.
Eftersom (1+x)2 är ett positivt tal för alla x 0 så är även 1/(1+x)2 ett positivt tal. Derivatan är därför positiv och funktionen strikt växande.
Vilka x satte du in i den deriverade funktionen för att avgöra om det är strikt växande eller avtagande?
Derivatan är positiv för alla värden på x i vår definitionsmängd (x 0). Speciellt är derivatan positiv för alla x mellan 14 och 15.
f'(14)=14/(1+14)^2= något positivt
f'(15)=15/(15+1)^2 =något positivt
Du behöver inte räkna ut exakt vad derivatan blir, det räcker med att inse att derivatan är positiv för att inse att f är strikt växande.
Men snälla nån...
1/16 är mindre än 1/15. Det är allt man behöver begripa för att lösa uppgiften.
PATENTERAMERA skrev:Du behöver inte räkna ut exakt vad derivatan blir, det räcker med att inse att derivatan är positiv för att inse att f är strikt växande.
Ok. Men jag har fortfarande svårt att avgöra vilken av dem är störst även om båda är växande strikt
Bubo skrev:Men snälla nån...
1/16 är mindre än 1/15. Det är allt man behöver begripa för att lösa uppgiften.
Okej varför är den mindre än 1/15? Motivera gärna. Jag hade gärna svarat att 1/15 är mindre än 1/16 då talet 15 är mindre än talet 16. Men för bråk kanske man ej ska tänka så.
Ska lägga det på påminnet att 1/16, 1/17 osv är mindre än 1/15. Ju högre nämnare ökar desto mindre kvot.
Mahiya99 skrev:PATENTERAMERA skrev:Du behöver inte räkna ut exakt vad derivatan blir, det räcker med att inse att derivatan är positiv för att inse att f är strikt växande.
Ok. Men jag har fortfarande svårt att avgöra vilken av dem är störst även om båda är växande strikt
Om en funktion f är strikt växande så implicerar a < b (per definition) att f(a) < f(b).
Vi har visat att f är strikt växande.
Vidare så vet vi att 14 < 15 och därför har vi att f(14) < f(15).
Ett annat angreppssätt för att avgöra vilket tal som är störst är att uppskatta kvoten mellan dom.
Betänk att kvoten > 1 om täljaren är större än nämnaren
Alltså i ditt exempel:
det sista uttrycket är mindre än 1 alltså är 14/15 minst.
Bubo skrev:Men snälla nån...
1/16 är mindre än 1/15. Det är allt man behöver begripa för att lösa uppgiften.
Visst. Det vara bara för att visa att det alltid finns flera sätt att angripa en uppgift.
Ture skrev:Ett annat angreppssätt för att avgöra vilket tal som är störst är att uppskatta kvoten mellan dom.
Betänk att kvoten > 1 om täljaren är större än nämnaren
Alltså i ditt exempel:
det sista uttrycket är mindre än 1 alltså är 14/15 minst.
14/15 kan väl ej vara minst när vi säger att 15 /16 är det? Det går ju emot dina ord. '' täljare ska vara större än nämnare. ingen av dem har täljare som är större än nämnare. Däremot är 15 som täljare större än 14 som täljare.
PATENTERAMERA skrev:Mahiya99 skrev:PATENTERAMERA skrev:Du behöver inte räkna ut exakt vad derivatan blir, det räcker med att inse att derivatan är positiv för att inse att f är strikt växande.
Ok. Men jag har fortfarande svårt att avgöra vilken av dem är störst även om båda är växande strikt
Om en funktion f är strikt växande så implicerar a < b (per definition) att f(a) < f(b).
Vi har visat att f är strikt växande.
Vidare så vet vi att 14 < 15 och därför har vi att f(14) < f(15).
Tack! Ska komma ihåg detta regel.
Mahiya99 skrev:Ture skrev:Ett annat angreppssätt för att avgöra vilket tal som är störst är att uppskatta kvoten mellan dom.
Betänk att kvoten > 1 om täljaren är större än nämnaren
Alltså i ditt exempel:
det sista uttrycket är mindre än 1 alltså är 14/15 minst.
14/15 kan väl ej vara minst när vi säger att 15 /16 är det? Det går ju emot dina ord. '' täljare ska vara större än nämnare. ingen av dem har täljare som är större än nämnare. Däremot är 15 som täljare större än 14 som täljare.
14/15 är täljaren
15/16 är nämnaren
jag delade de två talen med varandra och fick efter lite förenkling
(15*15-1)/15*15 vilket är < 1
alltså är 14/15 < 15/16
kontroll med räknare:
14/15 blir 0,933...
15/16 blir 0,9375 vilket alltså är störst
Ture skrev:Mahiya99 skrev:Ture skrev:Ett annat angreppssätt för att avgöra vilket tal som är störst är att uppskatta kvoten mellan dom.
Betänk att kvoten > 1 om täljaren är större än nämnaren
Alltså i ditt exempel:
det sista uttrycket är mindre än 1 alltså är 14/15 minst.
14/15 kan väl ej vara minst när vi säger att 15 /16 är det? Det går ju emot dina ord. '' täljare ska vara större än nämnare. ingen av dem har täljare som är större än nämnare. Däremot är 15 som täljare större än 14 som täljare.
14/15 är täljaren
15/16 är nämnaren
jag delade de två talen med varandra och fick efter lite förenkling
(15*15-1)/15*15 vilket är < 1
alltså är 14/15 < 15/16
kontroll med räknare:
14/15 blir 0,933...
15/16 blir 0,9375 vilket alltså är störst
Varför säger man då att 1/16 är mindre än 1/15? Då tror man ju per automatik att 15/16 är mindre än 14/15. Sen får jag veta att det är tvärtom nu. Om 1/16 är mindre än 1/15 så borde 1/15 vara större än 1/16?
Varför inte skriva ut ordentligt vad som föreslagits från början (och tårtliknelsen från Trinity2 var bra):
14/15 = 1 - (1/15)
15/16 = 1 - (1/16)
1/16 är mindre än 1/15 eftersom nämnaren är större.
Tänk på tårtan. Skär man upp en tårta i 16 delar är varje del mindre än om man skär upp i 15 delar.
Drar vi bort något mindre från 1 blir resultatet större.
Tänk på tårtan igen. Tar vi bort en mindre del är mer kvar än om vi tar bort en större del.
Alltså är 15/16 det större bråket.
1/15 är större än 1/16 kontrollera med räknaren!
Ture skrev:1/15 är större än 1/16 kontrollera med räknaren!
Ja men det här ska man veta utan miniräknare.
Louis skrev:Varför inte skriva ut ordentligt vad som föreslagits från början (och tårtliknelsen från Trinity2 var bra):
14/15 = 1 - (1/15)
15/16 = 1 - (1/16)
1/16 är mindre än 1/15 eftersom nämnaren är större.
Tänk på tårtan. Skär man upp en tårta i 16 delar är varje del mindre än om man skär upp i 15 delar.Drar vi bort något mindre från 1 blir resultatet större.
Tänk på tårtan igen. Tar vi bort en mindre del är mer kvar än om vi tar bort en större del.Alltså är 15/16 det större bråket.
Exakt 15/16 är då större för vi har mer kvar och resultatet blir större 1-något mindre= större resultat
Louis skrev:Varför inte skriva ut ordentligt vad som föreslagits från början (och tårtliknelsen från Trinity2 var bra):
14/15 = 1 - (1/15)
15/16 = 1 - (1/16)
1/16 är mindre än 1/15 eftersom nämnaren är större.
Tänk på tårtan. Skär man upp en tårta i 16 delar är varje del mindre än om man skär upp i 15 delar.Drar vi bort något mindre från 1 blir resultatet större.
Tänk på tårtan igen. Tar vi bort en mindre del är mer kvar än om vi tar bort en större del.Alltså är 15/16 det större bråket.
15/16 är mindre tyvärr. Då är ju 14/15 eftersom 1/15 >1/16
Har du ändrat dig?
Då är ju 14/15
Är vad?
Louis skrev:Har du ändrat dig?
Då är ju 14/15
Är vad?
14/15 är större bråk mässigt än 15/16. Enligt 1/15 >1/16. Men problemet är att kvoten 14/15 är mindre än 15/16 på räknaren så rätt svar är ju att 15/16 är större än 14/15. Men på provet har man ju ej tillgång till miniräknare så man kan ej räkna ut kvoten direkt...
Håller du inte längre med om vad du själv skrev:
Exakt 15/16 är då större för vi har mer kvar och resultatet blir större 1-något mindre= större resultat
Just för att 1/15 > 1/16 är 15/16 > 14/15.
Louis skrev:Håller du inte längre med om vad du själv skrev:
Exakt 15/16 är då större för vi har mer kvar och resultatet blir större 1-något mindre= större resultat
Jo det gör jag, men jag var tvungen att tänka på det Ture skrev gällande att kontrollera med räknaren..
Tänk att ni är 15 man som delar på en pizza. Varje person får 1/15:de del av pizzan. Nästa gång ni är på pizzerian är ni 16 man och varje person får då 1/16:de del av pizzan. Vid vilket av tillfällena får du den största biten pizza?
Och på räknaren får du samma sak.
PATENTERAMERA skrev:Tänk att ni är 15 man som delar på en pizza. Varje person får 1/15:de del av pizzan. Nästa gång ni är på pizzerian är ni 16 man och varje person får då 1/16:de del av pizzan. Vid vilket av tillfällena får du den största biten pizza?
Hm när vi kanske är15 st? Jag tänker ju fler som kommer och delar på en pizza desto mindre chans att få största pizza
Precis. Därför är 1/15 större än 1/16.
PATENTERAMERA skrev:Precis. Därför är 1/15 större än 1/16.
Precis.
