Om f'(0) = 2 och g'(0), vad är då gradienten av F(0, 0)?

Denna fråga har t.o.m. ett facit men jag kan inte få det att gå ihop:

Antag att F(x, y) är differentierbar och sätt

$f (t) = F (t, - t), g (t) = F (t, 2 t)$

om f'(0) = 2 samt att f'(0) = 0, vad är då $F'_{x} (0, 0), F'_{y} (0, 0)$ ?

Jag satte $u = t, v = - t$ och sedan gjorde jag partialderiveringen $F'_{u} \frac{\partial u}{\partial t} + F'_{v} \frac{\partial v}{\partial t} = F'_{u} - F'_{v}$

Detta är ju lika med f'(t). Sedan gjorde jag samma sak för g(t) MEN jag gjorde ett annat variabelbyte (annars blandar man ju äpplen och päron): $a = t, b = 2 t$

Detta är fram tills nu enligt facit, men facit ändrade om det första variabelbytets "u, v" men bytte dem mot t respektive 2t. Detta ändrar ju variabelbytet, eller? Vi gör ju en partialderivering med avseende på andra "u" och "v"? Detta gör ju att med min beräkning ovan kan man inte komma särskilt långt men i facit löste man ju ut att den första F'u ... osv är lika med 2 och den andra F'u ... osv är lika med 0. Då fick man ett ekvationssytem där man kunde lösta ut vad F'u och F'v är. Men g(t) är ju en helt annan funktion och F tar andra värden. Hur kan de vara samma efter partialderivering med olika variabelbyten?

$f' (t) = F'_{x} (t) - F'_{y} (- t) g' (t) = F'_{x} (t) + 2 F'_{y} (2 t) t = 0 \Rightarrow f' (0) = 2 = F'_{x} (0) - F'_{y} (0) g' (0) = 0 = F'_{x} (0) + 2 F'_{y} (0) 2 e k v a t i o n e r, 2 o b e k a n t a . . .$

Svara Avbryt