Om skrivning

Det är inte helt hundra procent korrekt med att

$v = \arctan\left( -\frac{a}{b} \right)$

Testa vad som händer om du exempelvis har att a = b = -1. Stämmer likheten då?

Men vart någonstans går det snett?

Du har bara att v är en vinkel som ska uppfylla att

$\tan(v) = -\frac{a}{b}$

Detta gör att du får att du ska välja v som antingen

$v = \arctan\left( -\frac{a}{b}\right)$

eller

$v = \pi + \arctan\left( -\frac{a}{b}\right)$

Så det är korrekt att säg $v={\tan }^{-1}\left(-\frac{a}{b}\right) v=\mathrm{\pi }+{\tan }^{-1}\left(-\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)$. Förstår inte exakt vad du menar

Du måste ha att

$\left\{\begin{array}{l}\sin \left(v\right)=-a/c\\ \cos \left(v\right)=b/c\end{array}\right.$

Det är inte säkert att $\arctan(-a/b)$ är en lösning till detta ekvationssystem. Men man kan säga att antingen är $\arctan(-a/b)$ en lösning eller så är $\pi + \arctan(-a/b)$ en lösning.

Aha okej antar att det har något och göra med radianer? ska börja med det imorgon. Så jag behöver nämna att $\mathrm{\pi }+\arctan (-\mathrm{a}/\mathrm{b})$ också är en lösning.

Jaha, nja det är inte riktigt också en lösning. Antingen är

$\arctan(-a/b)$

en lösning, eller så är

$180\textdegree + \arctan(-a/b)$

en lösning. Det är alltså bara en av dessa som kan vara lösningar.

Detta har att göra med att tangens har perioden $180\textdegree$.

Hej!

Du vill kunna skriva uttrycket $a\sin x + b\cos x$ som

    $A \cos(x-v)$

för någon amplitud ($A$) och någon fasförskjutning ($v$).

En additionssats för cosinus-funktionen ger att $A\cos(x-v) = A\cos x\cos v + A\sin x\sin v\ .$ För att detta ska vara lika med uttrycket $a\sin x + b\cos x$ för alla vinklar $x$ måste det gälla att $A\cos v = b$ och $A\sin v = a\ .$ Trigonometriska ettan ger att $A^2 = a^2+b^2$ så att det positiva talet

    $A = \sqrt{a^2+b^2}\ .$

Definitionen av tangens-funktionen ger att $\tan v = \frac{a}{b}\ ;$ notera att det finns flera vinklar som har detta tangensvärde, men det finns bara en vinkel i det öppna intervallet $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ som har detta tangensvärde.

    $v = \arctan \frac{a}{b} \ , \quad -\frac{\pi}{2} < v < \frac{\pi}{2} \ .$

Albiki