2 svar
66 visningar
Dualitetsförhållandet 941
Postad: 4 mar 14:57

Om T(x) = kx, hur kommer det sig att T*(x) = konjugatet(k)x?

Om T(x) = kx, hur kommer det sig att T*(x) = konjugatet(k)x?

oggih 871 – F.d. Moderator
Postad: 4 mar 20:58 Redigerad: 4 mar 22:14

Du får berätta lite mer för oss! Vad är TT, och vad betyder T*T^*


En tänkbar tolkning är att vi har en matris Tn×nT\in\mathbb{C}^{n\times n}, att T*T^* är det konjugerade transponatet av TT, och att vi har Tx=kxT\boldsymbol{x}=k\boldsymbol{x} för någon skalär kk\in\mathbb{C} och någon vektor x\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}.

Då kan vi inte generellt dra slutsatsen att T*x=k¯xT^*\boldsymbol{x}=\bar{k}\boldsymbol{x} gäller. Om vi till exempel väljer

   T=1101T=\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}   och   x=10\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},

så är det enkelt att verifiera att den påstådda implikationen inte gäller. Kontrollera gärna själv, och kolla sedan om du håller med om mina beräkningar!

Visa spoiler

Vi får Tx=1xT\boldsymbol{x}=1\boldsymbol{x}, men T*=1011T^*=\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 1\end{pmatrix} vilket ger T*x=111xT^*\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\neq 1\boldsymbol{x}.


En annan tänkbar tolkning är att T*T^* bara står för konjugatet av TT, men inte heller då kan vi generellt dra slutsatsen T*x=k¯xT^*\boldsymbol{x}=\bar{k}\boldsymbol{x}. Till exempel skulle  

   T=1+i010T=\begin{pmatrix}1+i & 0\\1&0\end{pmatrix}    och    x=1+i1\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}1+i\\1\end{pmatrix}

fungera som motexempel. Återigen: kontrolräkna själv, och se om du får samma sak som jag.

Visa spoiler

Vi får Tx=(1+i)xT\boldsymbol{x}=(1+i)\boldsymbol{x}, men T*=1-i010T^*=\begin{pmatrix}1-i & 0\\1&0\end{pmatrix}, vilket ger T*x=21+i(1-i)xT^*\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}2\\1+i\end{pmatrix}\neq {(1-i)}\boldsymbol{x}.

PATENTERAMERA 2299
Postad: 4 mar 21:10

Kan detta vara något?

https://math.stackexchange.com/questions/1431546/eigenvalues-of-adjoint-operator-general-case/1431601

Svara Avbryt
Close