7 svar

56 visningar

Elll behöver inte mer hjälp

Omfångsrika problem Flytkroppar

En metallverkstad har fått i uppgift att tillverka flytkroppar i form av pyramider med kvadratisk botten, enligt figuren nedanför. De tänker skära ut materialet ur en kvadratisk skiva av plåt med måtten 1,20 m x 1,20 m. De kommer att skära längs de streckade linjerna, bocka plåten efter de heldragna linjerna i kvadraten i mitten och sedan svetsa ihop pyramiden.

Eftersom en flytkropp i regel flyter bättre ju större volym den har, så är man på verkstaden intresserad av hur man ska gå till väga för att få den största volymen på flytkroppen. Beskriv hur de ska skära ut pyramiden för att den ska få så stor volym som möjligt. Vilken blir pyramidens största volym?

Jag har räknat och fått en funktion för volymen och tagit fram hur stor basarean för pyramiden ska vara för maximal volym. Problemet är att jag inte har något facit så jag vet inte om jag gjort rätt.

Så här har jag tänkt:

x=basareans sida, h=pyramidens höjd, s=sidotranglens höjd vinkelrätt från dess bas.

$V = \frac{x^{2} \times h}{3}$

Jag har utgått ifrån plåtens diagonal (d) $d = \sqrt{1, 2^{2} + 1, 2^{2}} = 1, 2 \sqrt{2} = 2 s + x$ ---> $s = 0, 6 \sqrt{2} - x$

Sedan tar jag fram uttrycket för pyramidens höjd med Phytagoras sats.

$h^{2} + {(\frac{x}{2})}^{2} = s^{2}$ ---> $h = \sqrt{{(0, 6 \sqrt{2} - x)}^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Sedan byter jag ut h mot mitt framtagna uttryck.

$V = x^{2} \times \frac{\sqrt{{(0, 6 \sqrt{2} - x)}^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{3}$

Sedan tar jag fram extrempunkten i geogebra och får x $\approx$ 0,68m, och $V_{m a x}$ =0,058 $m^{3}$

Sedan kontrollerar jag att basareans diagonal inte blir längre än plåtens sida, vilken den inte blir.

Jätte tacksam för synpunkter på min lösning.

Nu tror jag att jag kommit på det jag kanske missat. När jag skulle kontroll räkna genom att gå baklänges från mitt framtagna värde för basens sida insåg jag att mitt uttryck för h inte går ihop.

$h = \sqrt{{(0, 6 \sqrt{2} - x)}^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ det blir nämligen roten ur ett negativt värde, vilket inte är rimligt för det här problemet.

Jag valde därför att lägga in funktionen för h i geogebra också och fick då det här;

Den röda är funktionen för h, och den lila funktionen för volymen. Jag antar då att det är i punkten som dessa två skär varandra som vi uppnår den största volymen.

Basens sida blir då x=0,56 $m$ och volymen 0,052 $m^{3}$

Finns det någon där ute som kan komma med feedback denna gången?

Hej!

På sjätte raden under figuren i din lösning står det att s= $0.6 \sqrt{2} - x$ , men det skall nog vara

x/2. Se figuren. Annars är lösningen rättfram (man behöver inte Geogebra, men det blir lite

"grisiga" räkningar. Jag fick 0.036 m³

Jag råkade visst skriva fel, men som du kan se i mitt nästa inlägg har jag skrivit in korrekt i geogebra.

Jag testade även en annan metod medan jag väntade på svar. Bild 1 är min ursprungliga lösning, och bild 2 min nya.

Lösning 1 ger V= 0,058 m³

Lösning 2 ger V = 0,034 m³

Mina lösningar ger dock olika svar och ingen av dem stämmer överens med ditt svar (även om nr 2 är närmare än nr 1). 🥲

0.034 är nära nog

Det är inte särskilt svåra räkningar att göra för hand, men de är nog menade för räknare/dator.

Nu blir jag helt förvirrad. Känns som att jag får nya svar varje gång jag räknar.

Kan du skriva ut hur kommer du fram till din funktion V(x)?

Elll skrev:
Nu blir jag helt förvirrad. Känns som att jag får nya svar varje gång jag räknar.

Kan du skriva ut hur kommer du fram till din funktion V(x)?

Drag diagonalen i denna figur. Den har längden d=12/10 sqrt(2).

Låt den lilla kvadraten ha sidlängden 2x och låt en triangel ha höjden s. Vi har då

s+2x+s=d <=> 2s+2x=12/10 sqrt(2) <=> s+x = 6/10sqrt(2) <=> s+x=3/5sqrt(2) <=> s=3/5 sqrt(2)-x

Pythagoras' sats ger x^2+h^2=s^2 <=> h=sqrt(s^2-x^2)

Volymen

v = 1/3 Ah = 1/3 (2x)^2 * sqrt(s^2-x^2) = 4/3 x^2 sqrt(s^2-x^2)

men s=3/5 sqrt(2)-x så

v = 4/3 x^2 sqrt((3/5 sqrt(2)-x)^2-x^2)

= 4/3 x^2 sqrt(9/25*2-6/5sqrt(2)x+x^2-x^2)

= 4/3 x^2 sqrt(18/25*2-6/5sqrt(2)x)

Här kan vi direkt se definitionsintervallet 18/25*2-6/5sqrt(2)x>0 vilket ger 0<x<18/25/(6/5sqrt(2)) dvs 0<x<3/10 sqrt(2).

Nu förstår jag! Jag tänkte att det var något jag missade och nu ser jag att det var hur jag skulle komma fram till intervallet. Tack så mycket för all hjälp!

Svara

Visa senaste svar