Omforma ytintegralen till en linjeintegral

Se om du på något sätt kan utnyttja Stokes sats.

PATENTERAMERA skrev:

Se om du på något sätt kan utnyttja Stokes sats.

Nja jag vet inte vad du menar med att utnyttja stokes sats. Saknar ide på uppgiften..

Stokes:

$\underset{S}{\int }\nabla \times \overrightarrow{F}\bullet d\overrightarrow{S}=\underset{C}{\oint }\overrightarrow{F}\bullet d\overrightarrow{r}$.

Så ett tips skulle vara att försöka hitta ett $\overrightarrow{F}$ sådant att $\nabla \times \overrightarrow{F}=\overrightarrow{v}\times \nabla U$.

PATENTERAMERA skrev:

Stokes:

$\underset{S}{\int }\nabla \times \overrightarrow{F}\bullet d\overrightarrow{S}=\underset{C}{\oint }\overrightarrow{F}\bullet d\overrightarrow{r}$.

Så ett tips skulle vara att försöka hitta ett $\overrightarrow{F}$ sådant att $\nabla \times \overrightarrow{F}=\overrightarrow{v}\times \nabla U$.

Varför ska det vara likhet? Hur hittar man F?? Vi har ju v×nabla U

Du få kolla beviset i boken. Du bör kunna denna formel utantill.

Du får klura lite på lämpligt F.

PATENTERAMERA skrev:

Du få kolla beviset i boken. Du bör kunna denna formel utantill.

Du får klura lite på lämpligt F.

Vilket bevis menar du nu? Gällande att kunna stokes sats utan till håller jag med om. Ett lämpligt F vet jag inte. Kanske är det v som är F? Ska man använda indexnotation här?

Testa med $U\overrightarrow{v}$.

PATENTERAMERA skrev:

Testa med $U\overrightarrow{v}$.

Du menar F=U*v?

Ja.

PATENTERAMERA skrev:

Ja.

Vad fick dig att välja just detta till F? Vad ska man göra med likheten mellan båda med? 

Vad blir $\nabla \times \left(U\overrightarrow{v}\right)$?

PATENTERAMERA skrev:

Vad blir $\nabla \times \left(U\overrightarrow{v}\right)$?

Kan man använda index notation här? Utan det kan jag tänka mig(nablaxU)*v+U(nablaxv)

Ja, och vad är nabla x v? Enligt problemtexten.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, och vad är nabla x v? Enligt problemtexten.

0?

Ja. Slutsats?

PATENTERAMERA skrev:

Ja. Slutsats?

Slutsatsen är väl att vi har kvar v*( nablaxU)

$\nabla \times \left(U\overrightarrow{v}\right)=\nabla U\times \overrightarrow{v}+U\nabla \times \overrightarrow{v}=\nabla U\times \overrightarrow{v}=-\overrightarrow{v}\times \nabla U$.

Hur kan du använda detta för att lösa uppgiften?

PATENTERAMERA skrev:

$\nabla \times \left(U\overrightarrow{v}\right)=\nabla U\times \overrightarrow{v}+U\nabla \times \overrightarrow{v}=\nabla U\times \overrightarrow{v}=-\overrightarrow{v}\times \nabla U$.

Hur kan du använda detta för att lösa uppgiften?

Jag vet inte. Jag förstår inte varför du skriver -v×nabla U? sen förstår jag inte din sätt att skriva nabla på. Jag sa ju att jag hade kvar v(*nablaxU)

Använd indexnotation.

${\epsilon }_{ijk}{\partial }_j\left(U{v}_k\right)=\cdots$

PATENTERAMERA skrev:

Använd indexnotation.

${\epsilon }_{ijk}{\partial }_j\left(U{v}_k\right)=\cdots$

Ja det hade nog varit en bra ide från början. Men då får vi i alla fall: eijk(vkdj(U)+Udj(vk))=eijkvkdj(U)+Udj(vk)eijk= v×nablaU+Unablaxv

Det blir faktiskt nablaU x v inte v x nablaU. Titta noga på ordningen på indexen.

PATENTERAMERA skrev:

Det blir faktiskt nablaU x v inte v x nablaU. Titta noga på ordningen på indexen.

Vilken ordning på indexen ? Menar du att i alfabetet så kommer först j och sen k osv efter? Då tänker jag mig dj(U)eijkvk=nablaU×v

Ja. Precis. Så vi har att $\nabla \times \left(U\overrightarrow{v}\right)=\nabla U\times \overrightarrow{v}=-\overrightarrow{v}\times \nabla U$.

Använd detta i kombination med Stokes.

PATENTERAMERA skrev:

Ja. Precis. Så vi har att $\nabla \times \left(U\overrightarrow{v}\right)=\nabla U\times \overrightarrow{v}=-\overrightarrow{v}\times \nabla U$.

Använd detta i kombination med Stokes.

Jag hänger inte med på minustcknet. Hur menar du i kombination med stokes ?

Läs uppgiften igen och gå igenom tråden så klarnar det nog.

PATENTERAMERA skrev:

Läs uppgiften igen och gå igenom tråden så klarnar det nog.

Yes. Men du borde förklara var minustecknet kommer ifrån så att du byter ordning på nablaU och v vid kryssprodukten.

Är du med på att $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=-\mathbf{b}\times \mathbf{a}$ som grundläggande egenskap hos kryssprodukten?

Vi vill ha ordningen $\mathbf{v}\times \nabla U$ enligt uppgiftstexten. 

D4NIEL skrev:

Är du med på att $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=-\mathbf{b}\times \mathbf{a}$ som grundläggande egenskap hos kryssprodukten?

Vi vill ha ordningen $\mathbf{v}\times \nabla U$ enligt uppgiftstexten. 

Ja jag är med på det.

PATENTERAMERA skrev:

Ja. Precis. Så vi har att $\nabla \times \left(U\overrightarrow{v}\right)=\nabla U\times \overrightarrow{v}=-\overrightarrow{v}\times \nabla U$.

Använd detta i kombination med Stokes.

Så det blir isåfall -Uv*dr?

Såhär gjorde facit. Men jag förstår inte varför Ds=Si samt varför de stoppar in vj i dkU i andra steget och sen varför de byter index på andra raden.

(v x gradU)•dS = (v x gradU)_idS_i.

Sedan gör de ungefär på samma sätt som vi gjorde.

Man noterar att v x gradU = - $\nabla \times$(Uv) + U$\nabla \times$v = - $\nabla \times$(Uv).

Byter index för att man vill få till rot(någonting) för att kunna använda Stokes.

PATENTERAMERA skrev:

(v x gradU)•dS = (v x gradU)_idS_i.

Sedan gör de ungefär på samma sätt som vi gjorde.

Man noterar att v x gradU = - $\nabla \times$(Uv) + U$\nabla \times$v = - $\nabla \times$(Uv).

Byter index för att man vill få till rot(någonting) för att kunna använda Stokes.

Ja de gör på samma sätt som #21. då får man bara komma ihåg att byta plats på v och nablaU för att matcha det som uppgiften började med.