3 svar
59 visningar
katten15 är nöjd med hjälpen
katten15 7
Postad: 4 jul 09:48 Redigerad: 4 jul 09:49

Omordningsolikheten, visa att följande stämmer.

Hej, jag har en uppgift inom principen omordningsolikheten som jag inte riktigt förstår sista steget på. Detta är frågan: "låt a,b och c vara positiva reella tal, visa att: "

a3b + b3c + c3a a2bc + b2ca + c2ab

Jag tänker såhär, ändrar man olikheten till: 

(a2 ab)+ b2 bc + c2 ca  (a2 bc)+ b2 ca + c2 ab

samt gör antagandet att: a≤b≤c , så vet man helt säkert att: 

b2: bcca

c2:caab

Men jag hänger inte med på hur man ska motivera att: ab bc

Tänker jag fel här? 

Bedinsis 2716
Postad: 4 jul 12:57 Redigerad: 4 jul 14:54

Jag vet inte vad omordningsolikheten är, men om du uttryckligen antagit att abc borde det väl inte gå att abbc. Dividerar man båda leden med det positiva reella talet b så står det att ac vilket motsäger din egna förutsättning.

arad1986 123
Postad: 4 jul 14:36 Redigerad: 4 jul 14:36

Hej!

Jag vet inte heller vad omordningsolikheten är :-)

Hursomhelst, sådana olikheter är trickigare - det går inte lösa så "enkelt" genom att anta olikheter mellan a, b,c. Symmetrin är för stor, så att säga, och olikheten är för "tight".

Man behöver leta efter "mönster" som pekar på kvadrat uttryck ...

Ett första steg för att börja inse att man behöver "jaga" kvadrater (dvs uttryck i form ...2, som man vet är 0), är att "flytta" hela uttrycket på vänster sida, så att man behöver bevisa at uttryck0

Så, låt oss göra det. Vi får nya olikheten att bevisa:

a3b + b3c + c3a - a2bc -b2ca - c2ab  0

Så nu låt oss "jaga" kvadrater. Kom ihåg också att a, b, och c är positiva tal!

Låt oss skriva om uttrycket på vänster sida lite:

a3b + b3c + c3a - a2bc -b2ca - c2ab =a3b + b3c + c3a - 2a2bc +a2bc- 2b2ca+b2ca - 2c2ab+c2ab

(jag har använt mig av - a2bc = -2a2bc + a2bc, o.s.v)

Nu är vi på rätt väg att hitta kvadraterna. Vi grupperar (genom att byta ordning på termer) om uttrycket lite

a3b + b3c + c3a - 2a2bc +a2bc- 2b2ca+b2ca - 2c2ab+c2ab = a3b +c2ab- 2a2bc + b3c + a2bc - 2b2ca + c3a +b2ca - 2c2ab  

Uttrycket på höger sida kan man skriva om till:

a3b +c2ab- 2a2bc + b3c + a2bc - 2b2ca + c3a +b2ca - 2c2ab  =ab(a2+c2-2ac) + bc (b2+a2-2ba)+ca(c2+b2-2cb)

Nu är det bara ett steg till att visa att uttrycket är 0

 

Är du med?

katten15 7
Postad: 4 jul 14:57

nu fattar jag! tack så mycket för svar

Svara Avbryt
Close