ON-bas

Om frågan istället varit att du har en låda som är en kub med sidlängs 1 och har hörn i origo (dvs, den täcker ”enhetskuben”), hur hade du då kunnat avgöra om kulan var inne i lådan? 

Utöver tipset ovan: Kom ihåg att matrisen $A=\begin{pmatrix} 2 & 6 & -3\\ -6 & 3 & 2\\ 3 & 2 & -6\end{pmatrix}$ är basbytesmatrisen till basen $(e_1,e_2,e_3)$ från basen som ges av riktningsvektorerna till punkterna $A, B, C$. Vill vi uttrycka $y=(5, -1,10)$ i den nya basen kan vi lösa systemet $Ax=y$, alltså beräkna $A^{-1}$ (som är basbytesmatrisen från standard On-basen till vår nya bas).

Blir det rätt så:

X= $A^{-1}\times y =\begin{array}{ccc}14& 42& 21\\ 42& 21& -14\\ 21& -14& 42\end{array}\times \left|\begin{array}{c}5\\ -1\\ 10\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}34\\ 7\\ 77\end{array}\right|$

Jag har skrivit av matrisen fel, talet i nedre högra hörnet ska vara 6, inte -6. Matrisen $A$ består alltså av riktningsvektorerna A, B, och C som kolonnvektorer.