4 svar
701 visningar
lamayo är nöjd med hjälpen!
lamayo 1958
Postad: 21 feb 2019

Optimera kompakt område

Hej!

Har en fråga angående optimering av kompakta områden.

Om vi exempelvis har funktionen f(x,y)=x2+2y-4x2y, begränsas av y=x2, y=1, x=3

Det man gör är ju att om det finns några intressanta punkter genom att kolla efter stationära punkter. f´x=0f´y=0.

Sedan kolla efter i hörnen. 

Däremot förstår jag inte varför man kollar efter på själva randen. Hur kan det finnas en max- eller minpunkt där?

All hjälp uppskattas :)

AlvinB 2513
Postad: 21 feb 2019

När man funderar över ett flervariabelanalysproblem är det ofta bra att kunna dra paralleller till envariabelfallet. Säg att vi skall hitta största och minsta värde för funktionen x3-9x2+25x-19x^3-9x^2+25x-19 på intervallet [1,5][1,5]. Då ser grafen ut så här:

Märk att även fast funktionen har både en lokal maxpunkt antas dess minsta värde i kanten av intervallet. Det är alltså inte nödvändigt att det största respektive minsta värdet är en stationär punkt om det ligger på kanten av definitionsmängden.

I flervariabelfallet fungerar det på samma sätt. Funktionens största värde på området behöver inte vara en stationär punkt om det ligger på kanten (randen) av definitionsmängden. Skillnaden är att randen innefattar en kurva av punkter i fallet av en tvåvariabelfunktion, medans i envariabelfallet är den bara två punkter. Märk hur största och minsta värde för din funktion ligger på randen av området:

Randen kan parametriseras med bara en variabel. Det kan mycket väl finnas stationära punkter på randen.

Albiki 3460
Postad: 21 feb 2019

Hej!

  • Stationära punkter till funktionen f:Df\,:\, D \to \mathbb{R} finns (om de existerar) i det inre D°D^{\circ} av funktionens kompakta definitionsmängd DD.
  • En stationär punkt är ett nollställe till funktionens gradientfält f:D°2\nabla f\,:\,D^{\circ} \to \mathbb{R}^2.
  • Globala extrempunkter till funktionen ff ligger antingen i det inre av DD eller på randen till DD.
  • Notera att en stationär punkt endast motsvarar en lokal extrempunkt; huruvida den även är en global extrempunkt måste undersökas separat; för detta ändamål räcker det inte att studera nollställen till vektorfältet f\nabla f.
lamayo 1958
Postad: 21 feb 2019

Tack så mycket för svaren!

Nu lossnade det. (:

Svara Avbryt
Close