optimering
hej kan någon hjälpa mig med denna? jag vet att ett inre område av D saknas och det är enbart randen vi behöver kolla på men fattar inte riktigt hur jag ska bevisa det största värdet..
Jag köper inte riktigt att D bara består av randpunkter.
x+y+z = pi är ett plan. I detta fall är x, y, z alla större än noll, så du har en triangulär skiva som ligger i första ”oktanten”. Den punkt du hittat ligger mitt i triangeln, men du behöver kolla hörnen (x = pi, y = z = 0; y = pi, x = z = 0; osv) samt kanterna (x = 0, y+z = pi osv).
Dessa kontroller går snabbt eftersom du kan använda symmetriresonemang.
Du ser att funktionen har minsta värdet noll längs triangelns kant och att enda kandidaten för största värdet är det du funnit.
Snabbaste sättet att lösa uppgiften är nog att använda konkaviteten av funktionen på intervallet .
Marilyn skrev:Jag köper inte riktigt att D bara består av randpunkter.
x+y+z = pi är ett plan. I detta fall är x, y, z alla större än noll, så du har en triangulär skiva som ligger i första ”oktanten”. Den punkt du hittat ligger mitt i triangeln, men du behöver kolla hörnen (x = pi, y = z = 0; y = pi, x = z = 0; osv) samt kanterna (x = 0, y+z = pi osv).
Dessa kontroller går snabbt eftersom du kan använda symmetriresonemang.
Du ser att funktionen har minsta värdet noll längs triangelns kant och att enda kandidaten för största värdet är det du funnit.
Hmm hade det varit lättast om jag ritat en bild först? Förstår verkligen inte vad du menar här ''Du ser att funktionen har minsta värdet noll längs triangelns kant och att enda kandidaten för största värdet är det du funnit.'' Och hur jag ska redovisa det..
nu har jag gjort såhär istället, men lyckas inte rita linjestycket z = x = y.. är detta helt fel sätt att tänka kring denna uppgift? är det något jag missar?
Så här ser det ut för mig. Linjen är normal til planet.
hur kom du fram till att du behöver en linje där?
susbrah skrev:hur kom du fram till att du behöver en linje där?
Det var du som ville rita linjen.
För att ta det från början:
Området som f är definierat på är planet x+y+z = pi som är ett plan.
Att x, y och z ≥ 0 ger att vi begränsar oss till triangeln som du också ritat.
Vi ser lätt att f är noll längs alla kanter och i alla hörn. Eftersom f inte kan vara negativ på D så måste noll vara funktionens minsta värde.
Nu återstår det inre av triangeln. Där har du kommit fram till att enda möjliga kandidaten för ett största värde är när x = y = z. Det ger i och för sig att x = y = z = pi/3 där f är positivt, området är slutet och begränsat osv, så det finns ett största värde. Alltså är det där funktionens största värde (roten ur 27)/8 ligger. Klart.
Men eftersom du inte fick till linjen så ritade jag in den. Maxpunkten ligger där linjen skär planet. Inte fel att skissa så man förstår vad man gjort.
men då blir området egentligen x+ y+ z mindre eller lika med pi? om området har ett inre
Funktionen f = sinx siny sinz är förstås definierad för alla punkter i rummet.
Punkter (x, y, z) där x+y+z > pi ligger ”ovanför” och där x+y+z < pi ligger ”nedanför” planet
x+y+z = pi.
I det tredimensionella rummet är planet en gräns mellan området ovanför och området nedanför planet. Men nu lyfter vi ut planet ur rummet – planet är vårt nya universum. Vi bryr oss inte längre om punkterna som tidigare låg alldeles intill planet, de existerar inte längre. Men det intressanta är att vi bevarar tre ”koordinater” för varje punkt;
x och y och z = pi–x–y.
(z är ju bestämd av x och y, så själva planet har bara två dimensioner.)
I detta plan skär vi ut en triangel. Triangelns kanter och hörn gränsar mot andra punkter i planet, så för dem måste vi studera separat hur f beter sig. Men punkterna i triangelns inre omges bara av punkter i triangeln, och inte av några punkter som tidigare låg ovan- eller nedanför planet. Så tänker jag.
Problemet hade ju kunnat formuleras
”Bestäm största värde för f(x, y) = sinx siny sin(pi–x–y)
där 0 ≤ x ≤ pi, 0 ≤ y ≤ pi och x+y = pi.”
I så fall hade vi kanske inte bekymrat oss om någon tredje dimension. Men jag tycker uppgiften blir enklare att greppa när man tillför en z-koordinat.
Här är ett annat exempel på hur ett problem blir lättare när man tillför en extra dimension. Det är inte lätt att hänga med i detaljerna vid första titten, och man måste kanske vara en aning nördig för att gilla det, men grundidén går att uppskatta.
