Optimering

Det finms ett samband mellan vinkeln alfa och bredden x.

Det verkar som om du inte tagit hänsyn till det när du satte upp A(x) och A'(x). 

Yngve skrev:

Det finms ett samband mellan vinkeln alfa och bredden x.

Det verkar som om du inte tagit hänsyn till det när du satte upp A(x) och A'(x). 

Menar du x=2asin(alfa/2)? Isf har jag tagit hänsyn till det om du kollar fortsättningen. Jag missade det först, men rättade till det.

Du kan bara ha en variabel i din ekvation! Nu har du både x och $\alpha$

$$\begin{gathered} a^2=h^2+\left(\frac{x}{2}{)}^2 \\ A\right(x)=ax+xh=ax+x\sqrt{a^2-\frac{x^2}{4}} \end{gathered}$$

Affe Jkpg skrev:

Du kan bara ha en variabel i din ekvation! Nu har du både x och $\alpha$

$$\begin{gathered} a^2=h^2+\left(\frac{x}{2}{)}^2 \\ A\right(x)=ax+xh=ax+x\sqrt{a^2-\frac{x^2}{4}} \end{gathered}$$

Men var de inte de jag rättade till när jag ersatte x med 2asin(affa/2) och satte a till längden 1?!

Louiger skrev:

Affe Jkpg skrev:

Du kan bara ha en variabel i din ekvation! Nu har du både x och $\alpha$

$$\begin{gathered} a^2=h^2+\left(\frac{x}{2}{)}^2 \\ A\right(x)=ax+xh=ax+x\sqrt{a^2-\frac{x^2}{4}} \end{gathered}$$

Men var de inte de jag rättade till när jag ersatte x med 2asin(affa/2) och satte a till längden 1?!

Nä, du tycks ha definierat en funktion:

$A(x,\alpha )=....$

Du kan du bl.a. inte derivera den som du har gjort.

Affe Jkpg skrev:

Louiger skrev:

Visa föregående citat

Affe Jkpg skrev:

Du kan bara ha en variabel i din ekvation! Nu har du både x och $\alpha$

$$\begin{gathered} a^2=h^2+\left(\frac{x}{2}{)}^2 \\ A\right(x)=ax+xh=ax+x\sqrt{a^2-\frac{x^2}{4}} \end{gathered}$$

Men var de inte de jag rättade till när jag ersatte x med 2asin(affa/2) och satte a till längden 1?!

Nä, du tycks ha definierat en funktion:

$A(x,\alpha )=....$

Du kan du bl.a. inte derivera den som du har gjort.

Ja i början vilket jag korrigerade och ersatte x med 2asin(alfa/2) och a=1 då det i detta fall inte spelar någon roll vilken längdenhet a har då de alla är av samma längdvilket gör att den enda variabeln är alfa! Jag fattar verkligen inte vad du menar bortsett från att jag tror att du inte kollat på fortsättningen av det jag skrivit. Mvh Louise 

Louiger skrev:

Ja i början vilket jag korrigerade och ersatte x med 2asin(alfa/2) och a=1 då det i detta fall inte spelar någon roll vilken längdenhet a har då de alla är av samma längdvilket gör att den enda variabeln är alfa! Jag fattar verkligen inte vad du menar bortsett från att jag tror att du inte kollat på fortsättningen av det jag skrivit. Mvh Louise 

Jag ska försöka förklara vad som är fel med A(x) och A'(x).

Du sätter upp areafunktionen A(x) = a*x + x*a*cos(alfa/2), dvs som en funktion av både x och alfa.

När du sedan deriverar A(x) med avseende på x så använder du produktregeln på termen x*a*cos(alfa/2).

Produktregeln lyder så här: Om f(x) = g(x)*h(x) så är f'(x) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x).

Du sätter här f(x) = x och g(x) = cos(alfa/2). Här har vi ett problem. g(x) = cos(alfa/2) är en funktion av alfa, inte av x.

Sedan får fram att f'(x) = 1 och att g'(x) = -sin(alfa/2). Det här sista stämmer inte.

Det är fel att derivera g(x) med avseende på x efrersom den oberoende variabeln är alfa, inte x.

Om du istället deriverade med avseende på alfa så är det inte heller rätt, dels eftersom du då blandar derivering med avseende på x och med avseende på alfa i samma uttryck, dels eftersom du då glömmer den inre derivatan. Cos(alfa/2) är ju en sammansatt funktion och då ska du använda kedjeregeln.

Jag hoppas att detta bättre förklarar vad som är fel?

Hej!

Det ser ut som att du gör fel redan på första raden. Om $A$ betecknar rännans tvärsnittsarea så ska den beräknas enligt

    $A(\alpha) = a\cdot x(\alpha) + 0.5x(\alpha)\cdot h(\alpha)\ , \quad 0<\alpha<\pi$;

du glömde faktorn $0.5$ samt att indikera beroendet på vinkeln $\alpha$.

Det gäller att $x(\alpha) = 2a\sin(\alpha/2)$ och $h(\alpha) =a\cos(\alpha/2)$ varför tvärsnittsarean förändras enligt 

    $\frac{A(\alpha)}{a^2} = 2\sin(\alpha/2)+0.5\cdot 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2) = 2\sin(\alpha/2)+0.5\sin \alpha\ , \quad 0<\alpha<\pi.$ 

Yngve skrev:

Louiger skrev:

Ja i början vilket jag korrigerade och ersatte x med 2asin(alfa/2) och a=1 då det i detta fall inte spelar någon roll vilken längdenhet a har då de alla är av samma längdvilket gör att den enda variabeln är alfa! Jag fattar verkligen inte vad du menar bortsett från att jag tror att du inte kollat på fortsättningen av det jag skrivit. Mvh Louise 

Jag ska försöka förklara vad som är fel med A(x) och A'(x).

Du sätter upp areafunktionen A(x) = a*x + x*a*cos(alfa/2), dvs som en funktion av både x och alfa.

När du sedan deriverar A(x) med avseende på x så använder du produktregeln på termen x*a*cos(alfa/2).

Produktregeln lyder så här: Om f(x) = g(x)*h(x) så är f'(x) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x).

Du sätter här f(x) = x och g(x) = cos(alfa/2). Här har vi ett problem. g(x) = cos(alfa/2) är en funktion av alfa, inte av x.

Sedan får fram att f'(x) = 1 och att g'(x) = -sin(alfa/2). Det här sista stämmer inte.

Det är fel att derivera g(x) med avseende på x efrersom den oberoende variabeln är alfa, inte x.

Om du istället deriverade med avseende på alfa så är det inte heller rätt, dels eftersom du då blandar derivering med avseende på x och med avseende på alfa i samma uttryck, dels eftersom du då glömmer den inre derivatan. Cos(alfa/2) är ju en sammansatt funktion och då ska du använda kedjeregeln.

Jag hoppas att detta bättre förklarar vad som är fel?

Tillsist fattade jag. Tack för hjälpen!!! Bytte ut alfa mot täta så var de enklare att se skillnad på konstant och variabel 😃

Albiki skrev:

Hej!

Det ser ut som att du gör fel redan på första raden. Om $A$ betecknar rännans tvärsnittsarea så ska den beräknas enligt

    $A(\alpha) = a\cdot x(\alpha) + 0.5x(\alpha)\cdot h(\alpha)\ , \quad 0<\alpha<\pi$;

du glömde faktorn $0.5$ samt att indikera beroendet på vinkeln $\alpha$.

Det gäller att $x(\alpha) = 2a\sin(\alpha/2)$ och $h(\alpha) =a\cos(\alpha/2)$ varför tvärsnittsarean förändras enligt 

    $\frac{A(\alpha)}{a^2} = 2\sin(\alpha/2)+0.5\cdot 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2) = 2\sin(\alpha/2)+0.5\sin \alpha\ , \quad 0<\alpha<\pi.$ 

Tack för hjälpen!!! Tillsist fattade jag 😃

Bra att det löste sig för dig.

Om du deriverar mitt förslag så får du

    $A'(\alpha)/a^2 = \cos \frac{\alpha}{2} + 0.5\cos \alpha$

och dess nollställen är lösningar till ekvationen

    $2\cos \frac{\alpha}{2} +2\cos^2\frac{\alpha}{2} -1 = 0 \iff (0.5+\cos\frac{\alpha}{2})^2-0.75=0$

det vill säga

    $\cos\frac{\alpha}{2}=(\sqrt{3}-1)/2 \iff \alpha = 2 \arccos \frac{\sqrt{3}-1}{2}\ , \quad 0 < \alpha < \pi.$

Om rännans öppningsvinkel är cirka 137 grader kommer rännan att rymma största möjliga volym.

Albiki skrev:

Bra att det löste sig för dig.

Om du deriverar mitt förslag så får du

    $A'(\alpha)/a^2 = \cos \frac{\alpha}{2} + 0.5\cos \alpha$

och dess nollställen är lösningar till ekvationen

    $2\cos \frac{\alpha}{2} +2\cos^2\frac{\alpha}{2} -1 = 0 \iff (0.5+\cos\frac{\alpha}{2})^2-0.75=0$

det vill säga

    $\cos\frac{\alpha}{2}=(\sqrt{3}-1)/2 \iff \alpha = 2 \arccos \frac{\sqrt{3}-1}{2}\ , \quad 0 < \alpha < \pi.$

Om rännans öppningsvinkel är cirka 137 grader kommer rännan att rymma största möjliga volym.

Jag gjorde så först men fattade inte hur jag skulle få fram nollställena med två cosinus i ekvationen 🤔