Optimering hastighet

$$\begin{gathered} V_1\left(t\right)=7t \\ {V}_2\left(t\right)=\pi r^2\left(t\right)h \\ r\left(t\right)=2t \end{gathered}$$

Fläcken formerar sig som en cylinder vars volym $V(t)$ ökar med hastigheten $V'(t) = 7$ kubikmeter per minut. När volymen ändras så ändras cylinderns tjocklek $h(t)$ och cylinderns radie $r(t)$. 

    $V(t) = \pi r^2(t) \cdot h(t)$

och dess derivata är

    $V'(t) = \pi \cdot \{2r(t) r'(t) h(t) + r^2(t) h'(t)h(t)\}$.

Vid tidpunkten $T$ är $r'(T) = 2$ meter per minut och $r(T) = 100$ meter och $h(T) = 0.005$ meter. Uppgiften vill att du bestämmer derivatan $h'(T)$.

Varför står det "optimering" i rubriken? Det är väl inget som skall optimeras i den här uppgiften?

Smaragdalena skrev:

Varför står det "optimering" i rubriken? Det är väl inget som skall optimeras i den här uppgiften?

Då jag precis läst om optimering men inte förstod alls hur jag skulle göra med uppgiften trodde jag att det var ett optimeringsproblem. Jag håller just nu på att försöka förstå. Läser de svar jag fått och som sagt försöker fatta.

Albiki skrev:

Fläcken formerar sig som en cylinder vars volym $V(t)$ ökar med hastigheten $V'(t) = 7$ kubikmeter per minut. När volymen ändras så ändras cylinderns tjocklek $h(t)$ och cylinderns radie $r(t)$. 

    $V(t) = \pi r^2(t) \cdot h(t)$

och dess derivata är

    $V'(t) = \pi \cdot \{2r(t) r'(t) h(t) + r^2(t) h'(t)h(t)\}$.

Vid tidpunkten $T$ är $r'(T) = 2$ meter per minut och $r(T) = 100$ meter och $h(T) = 0.005$ meter. Uppgiften vill att du bestämmer derivatan $h'(T)$.

Jag antog att tjockleken (h(t) i Albiki's ekvationer och h i Affe's ekvationer) är konstant lika med 5mm.
I så fall kan man med Affe's ekvationer analysera t.ex. $V\left(t\right)=\frac{V_2\left(t\right)}{V_1\left(t\right)}\ge 1$

Affe Jkpg skrev:

Albiki skrev:

Fläcken formerar sig som en cylinder vars volym $V(t)$ ökar med hastigheten $V'(t) = 7$ kubikmeter per minut. När volymen ändras så ändras cylinderns tjocklek $h(t)$ och cylinderns radie $r(t)$. 

    $V(t) = \pi r^2(t) \cdot h(t)$

och dess derivata är

    $V'(t) = \pi \cdot \{2r(t) r'(t) h(t) + r^2(t) h'(t)h(t)\}$.

Vid tidpunkten $T$ är $r'(T) = 2$ meter per minut och $r(T) = 100$ meter och $h(T) = 0.005$ meter. Uppgiften vill att du bestämmer derivatan $h'(T)$.

Jag antog att tjockleken (h(t) i Albiki's ekvationer och h i Affe's ekvationer) är konstant lika med 5mm.
I så fall kan man med Affe's ekvationer analysera t.ex. $V\left(t\right)=\frac{V_2\left(t\right)}{V_1\left(t\right)}\ge 1$

Tack för engagemang ❤ jag får kolla igen nästa gång mitt barn sover och jag har möjlighet att plugga igen.

Albiki skrev:

Fläcken formerar sig som en cylinder vars volym $V(t)$ ökar med hastigheten $V'(t) = 7$ kubikmeter per minut. När volymen ändras så ändras cylinderns tjocklek $h(t)$ och cylinderns radie $r(t)$. 

    $V(t) = \pi r^2(t) \cdot h(t)$

och dess derivata är

    $V'(t) = \pi \cdot \{2r(t) r'(t) h(t) + r^2(t) h'(t)h(t)\}$.

Vid tidpunkten $T$ är $r'(T) = 2$ meter per minut och $r(T) = 100$ meter och $h(T) = 0.005$ meter. Uppgiften vill att du bestämmer derivatan $h'(T)$.

Din beskrivning är klockren. Jag har kommit en bit på vägen i att förstå i alla fall. Det jag dock inte fattar är att om h(t) är med där jag satt ett kryss blir de inte rätt svar. Och om jag fattar det rätt om man deriverar på de sättet dvs Df(x)=f(x)f'(x) så ska h(t)vara med även där.

Hoppas om jag fattar denna uppgiften något sånär och kan göra flera liknande kanske jag fattar helt tillsist😊

Din derivata $V'(t)$ ser konstig ut. Med hjälp av Kedjeregeln och Produktregeln beräknas derivatan. Först ger Produktregeln att 

    $V'(t) = \pi \cdot (\text{Derivatan av }r^2(t)) \cdot h(t) + \pi \cdot r^2(t) \cdot (\text{Derivatan av } h(t))$

och sedan ger Kedjeregeln

    $(\text{Derivatan av } r^2(t)) = 2r(t) \cdot r'(t)$

så att volymen förändras med farten 

    $V'(t) = \pi \cdot 2 \cdot r(t) \cdot r'(t) \cdot h(t) + \pi \cdot r^2(t) \cdot h'(t).$

Notera att $\pi$ är en konstant och betecknar talet $3.1415...$

Vill man veta hur snabbt tjockleken förändras löser man ut $h'(t)$ från uttrycket för $V'(t).$

Division med det positiva talet $\pi r^2(t)$ ger

    $\displaystyle \frac{V'(t)}{\pi r^2(t)} = \frac{r'(t)}{r(t)}\cdot 2h(t) + h'(t).$

Albiki skrev:

Din derivata $V'(t)$ ser konstig ut. Med hjälp av Kedjeregeln och Produktregeln beräknas derivatan. Först ger Produktregeln att 

    $V'(t) = \pi \cdot (\text{Derivatan av }r^2(t)) \cdot h(t) + \pi \cdot r^2(t) \cdot (\text{Derivatan av } h(t))$

och sedan ger Kedjeregeln

    $(\text{Derivatan av } r^2(t)) = 2r(t) \cdot r'(t)$

så att volymen förändras med farten 

    $V'(t) = \pi \cdot 2 \cdot r(t) \cdot r'(t) \cdot h(t) + \pi \cdot r^2(t) \cdot h'(t).$

Notera att $\pi$ är en konstant och betecknar talet $3.1415...$

Aha då fattar jag! Tack! Jo jag är med på att pi är en konstant. Ibland missar jag bokstäver och ord (dyslexi) och upptäcker de senare och petar då in de så de kanske inte alltid ser så snyggt ut.