Ordning

Vet du någon sats som berättar vad $a^k$ har för ordning om $a$ har ordningen $o$?

nej jag känner inte till den tyvärr.

Okej, men aja de element $x$ som har ordning 5 kommer ju vara lösningar till ekvationen $5x \equiv 0\text{ (mod 15)}$, så kan du lösa denna ekvation?

okej då får jag rätt på a uppgiften som ska bli 3,6,9,12

men i nästa uppgift så fick jag 8,16,24,32 men tydligen ska det bara vara 8 och 24,

Jag är lite förvirrad när det gäller att bestämma ordningen för jag hade en annan uppgift som var att bestämma ordningen för ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_5$ och där löste jag det genom att se vad man skulle upphöja de olika elementen med för att få rest =1 mod 5, exempelvis 4^2=16 mod 5 =1 och o(4)=2

Men i denna uppgift ska man alltså ha rest=0, varför är det olika rester?

16 har inte ordningen 4 eftersom 16 + 16 = 0 (mod 32), 32 har inte ordningen 4 eftersom 32 = 0 (mod 32).

Eftersom om du kollar i ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_5^{*}$ så är enhetselementet 1, dvs det är den multiplikativa gruppen. Men om man kollar i en additativ grupp så är 0 enhetselementet.

okej då är jag med på varför det blev olika, men jag har inte riktigt förstått ordningen på b uppgiften än. Om man ska lösa ekvationen $4x\equiv 0mod32$ så kan vi ju uppfylla det med samtliga 4 svar jag angav.  Jag förstår inte varför 8 blir ett svar men inte 16.

Du missförstod mig, det är inte alla lösningar till 4x = 0 (mod 32) som kommer ha ordning fyra. Det är endast ett nödvändigt krav för att ha ordning 4, du måste fortfarande kolla om dem har det.

men om man provar så ser man att vi får 16^4 =0 mod 32

Du missförstår definitionen på ordning för det första. När man formulerar den abstrakt så säger man att ordningen till a är det minsta positiva heltal n sådant att $a^k = e$. Men här betyder bara $a^k$ att man applicerat grupp operatorn k gånger. Eftersom operatorn är addition i detta fall så blir ordningen till 16 det minsta positiva heltal n sådant att $16n \equiv 0\text{ (mod 32)}$ och du kan ju verifiera att 2 är det minsta positiva heltal som uppfyller detta.

aha så då blir alltså ordningen för 16 =2 och ordningen för 32=1

Ja, men tänk på att 32 och 0 är samma element i gruppen $\mathbb{Z}_{32}$.