7 svar
215 visningar
eliaw2 66 – Fd. Medlem
Postad: 28 sep 2020 14:56

Ortogonala matriser

Behöver hjälp med ett bevis,

Visa att om A och B är två ortogonala nxn matriser så är också AB ortogonal. 

Vet inte alls hur jag ska börja.

Moffen 1875
Postad: 28 sep 2020 15:11

Hej!

Om AA och BB är ortogonala så gäller att AT=A-1A^{T}=A^{-1}. ABAB är alltså ortogonal om ABABT=IAB\left(AB\right)^T=I. Kommer du vidare?

eliaw2 66 – Fd. Medlem
Postad: 28 sep 2020 17:55 Redigerad: 28 sep 2020 17:56

Då är  I = ATAoch I=BTB

AB=IATIBT=I(AB)T

då är AB(AB)T=I

Kan man visa det så?

Moffen 1875
Postad: 28 sep 2020 19:34
eliaw2 skrev:

Då är  I = ATAoch I=BTB

AB=IATIBT=I(AB)T

då är AB(AB)T=I

Kan man visa det så?

Nej hur definierar du division mellan matriser? Nu får du vara lite noggrannare.
Använd att ABT=BTAT\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}. Då får du istället ABABT=ABBTAT=...AB\left(AB\right)^T=ABB^{T}A^{T}=...

Fortsätter du själv härifrån? Glöm inte att AA och BB är ortogonala.

Blåvalen 362
Postad: 18 mar 2022 11:40
Moffen skrev:

Hej!

Om AA och BB är ortogonala så gäller att AT=A-1A^{T}=A^{-1}. ABAB är alltså ortogonal om ABABT=IAB\left(AB\right)^T=I. Kommer du vidare?

Anser du att detta är ett tillbörligt bevis:

 

AB(AB)^T =AB(B^T*A^T)= AB(B^-1*A^-1) = I?

Moffen 1875
Postad: 18 mar 2022 11:48

Ja det ser bättre ut, nu har du visat att ABT=AB-1\left(AB\right)^T=\left(AB\right)^{-1}. Om man vill kan man kanske ta det ett steg längre och skriva ABB-1A-1=AA-1=IAB\left(B^{-1}A^{-1}\right)=AA^{-1}=I, men det är en smaksak.

Blåvalen 362
Postad: 18 mar 2022 12:09
Moffen skrev:

Ja det ser bättre ut, nu har du visat att ABT=AB-1\left(AB\right)^T=\left(AB\right)^{-1}. Om man vill kan man kanske ta det ett steg längre och skriva ABB-1A-1=AA-1=IAB\left(B^{-1}A^{-1}\right)=AA^{-1}=I, men det är en smaksak.

 Hmm... varför försvinner B:na i det näst sista uttrycket?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 18 mar 2022 12:10

BB-1 =  I

Svara
Close