3 svar
454 visningar
eliaw2 66 – Fd. Medlem
Postad: 25 sep 2020 16:32

Ortonormerad bas

Behöver hjälp med en uppgift.

Bestäm en ortonormerad bas i det underrum i R4 som ges av x1+2x2-x3+4x4=0

Vet inte alls hur jag ska tänka, och hur vet jag hur många vektorer som utgör basen?

Jroth 1191 – Fd. Medlem
Postad: 25 sep 2020 17:17 Redigerad: 25 sep 2020 17:34

Ekvationssystemet har 4 okända variabler, 1 bunden och 3 fria, vilket betyder att vi förväntar oss en lösningsskara med dimension 3.

Låt x2=r,x3=s,x4=tx_2=r, x_3=s, x_4=t

Då blir ekvationen x1=-2r+s-4tx_1=-2r+s-4t

Kan du ställa upp sambanden för variablerna på matrisform, dvs ungefär så här?

x1x2x3x4=r+s+t\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=r \begin{pmatrix}\vdots\\\vdots\end{pmatrix}+s \begin{pmatrix}\vdots\\\vdots\end{pmatrix}+t \begin{pmatrix}\vdots\\\vdots\end{pmatrix}

Nu är vektorerna du får fram visserligen linjärt oberoende men förmodligen varken ortogonala eller normerade. Lyckligtvis finns det en metod för att ta fram en ON-bas när man redan har en bas. Metoden är uppkallad efter några gamla farbröder, Jørgen Pedersen Gram och Erhard Schmidt.

Kommer du vidare? Visa dina försök.

eliaw2 66 – Fd. Medlem
Postad: 25 sep 2020 20:12

Får dem ursprungliga vektorerna till (-2,1,0,0), (1,0,1,0) och (-4,0,0,1), stämmer det?

Jroth 1191 – Fd. Medlem
Postad: 26 sep 2020 11:35 Redigerad: 26 sep 2020 11:48

Ja, det stämmer, bra!

Nu har du hittat en bas av 3 vektorer {v1,v2,v3}\{v_1,v_2,v_3\} som tillsammans spänner rummet av alla lösningar till ekvationen x1+2x2-x3+4x4=0x_1+2x_2-x_3+4x_4=0.

Men som vi misstänkte redan på förhand är vektorerna varken ortogonala eller normerade.

Nästa steg är alltså att hitta en ny bas {e1,e2,e3}\{e_1,e_2,e_3\} som spänner samma rum, men där basen också är parvis ortogonal,  e1·e2=0e_1\cdot e_2=0, e1·e3=0e_1\cdot e_3=0 och e2·e3=0e_2\cdot e_3=0 samt normerad, ||e1||=||e2||=||e3||=1||e_1||=||e_2||=||e_3||=1. Då kallas basen en ON-bas.

Svara
Close