Övergångsmatris från en bas till standardbasen

Hej! Jag behöver hjälp med den här frågan.

På a)-delen vet jag på ett ungefär hur jag ska göra, men jag förstår fortfarande inte riktigt hur det här med basbyte fungerar. Jag gjorde som så att jag skrev upp standardmatrisen E = (1 0 0),(0 1 0),(0 0 1) och tänkte att basbytesmatrisen för när E går till B är P = $\{(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})\}$ . Och övergångsmatrsien från B till E är inversen av P. Har jag tänkt rätt? För matrisen av $p^{- 1}$ som jag får fram känns inte helt rätt, och jag vet inte hur jag ska förklara vad det betyder.

på b)-delen vet jag inte riktigt heller hur jag ska gå tillväga. Hur borde jag tänka här?

Tack på förhand!

Notation. [ $\vec{x}$ ]_B betecknar en kolonnvektor med vektorn $\vec{x}$ :s koordinater relativt basen B = { ${\vec{b}}_{1}$ , ${\vec{b}}_{2}$ , ${\vec{b}}_{3}$ }. På samma sätt betecknar [ $\vec{x}$ ]_E en kolonnvektor med vektorn $\vec{x}$ :s koordinater relativt standardbasen.

Notera att [ $\vec{x}$ ]_E = $\vec{x}$ .

Vi har nu basbytesmatriser enligt

${[\vec{x}]}_{B}$ = $P_{E \to B}$ ${[\vec{x}]}_{E}$ .

${[\vec{x}]}_{E}$ = $P_{B \to E}$ ${[\vec{x}]}_{B}$ .

Basbytesmatriserna är varandras inverser. Visa detta!

Basbytesmatriserna är sådana att

Col_k( $P_{B \to E}$ ) = ${[{\vec{b}}_{k}]}_{E}$

Col_k( $P_{E \to B}$ ) = ${[{\vec{e}}_{k}]}_{B}$

Visa detta!

Det betyder att

$P_{B \to E}$ = [[ ${\vec{b}}_{1}$ ]_E, [ ${\vec{b}}_{2}$ ]_E, [ ${\vec{b}}_{3}$ ]_E] = [ ${\vec{b}}_{1}$ , ${\vec{b}}_{2}$ , ${\vec{b}}_{3}$ ].

Sedan har vi följande samband för matriserna för T relativt de två baserna.

[T]_E = $P_{B \to E}$ [T]_B $P_{E \to B}$ . Visa detta!

Svara