parametrisera dessa kurvor [envariabelanalys]

Angående a), för att parametrisera kurvan skulle jag göra det stegvis så jag vet vad jag håller på med, såhär:

$x^2+y^2=2 \iff \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}=1 \iff {\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{y}{\sqrt{2}}\right)}^2=1$. Nu vet vi att exempelvis så uppfyller ${\cos }^2\left(t\right)+{\sin }^2\left(t\right)=1$, alltså kan vi skriva: ${\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}^2={\cos }^2\left(t\right) \iff x=\sqrt{2}·\cos \left(t\right)$ (lös ut x). Gör likadant för y för att få parametriseringarna. 

Börja med att visa oss din kvadratkomplettering på b).

Angående c) så behöver du "bara parametrisera" den (utan krav). Dvs. du kan exempelvis sätta $x=t, y=...?$, bestäm y. 

Moffen skrev:

Angående a), för att parametrisera kurvan skulle jag göra det stegvis så jag vet vad jag håller på med, såhär:

$x^2+y^2=2 \iff \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}=1 \iff {\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{y}{\sqrt{2}}\right)}^2=1$. Nu vet vi att exempelvis så uppfyller ${\cos }^2\left(t\right)+{\sin }^2\left(t\right)=1$, alltså kan vi skriva: ${\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}^2={\cos }^2\left(t\right) \iff x=\sqrt{2}·\cos \left(t\right)$ (lös ut x). Gör likadant för y för att få parametriseringarna. 

Börja med att visa oss din kvadratkomplettering på b).

Angående c) så behöver du "bara parametrisera" den (utan krav). Dvs. du kan exempelvis sätta $x=t, y=...?$, bestäm y. 

yes det är så jag har gjort på a)

på b ) ger $\frac{{(x-1)}^2}{4}+ \frac{y^2}{4}\hspace{0.17em}= 1$

om det inte stått x-1 kan jag skriva x = 2cost men ingen aning när det står -1 framför

c) yes jag substituerar typ men förstår inte meningen om man får göra hur man vill och det inte finns nån formel eller regel

Vi börjar med b), och där kan du helt enkelt tänka likadant som vi gjorde i a).

$\frac{{(x-1)}^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1 \iff {\left(\frac{x-1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{y}{2}\right)}^2=1$, vi sätter alltså ${\cos }^2\left(t\right)={\left(\frac{x-1}{2}\right)}^2 \Rightarrow x=...?$

Kan du fortsätta därifrån?

Moffen skrev:

Vi börjar med b), och där kan du helt enkelt tänka likadant som vi gjorde i a).

$\frac{{(x-1)}^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1 \iff {\left(\frac{x-1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{y}{2}\right)}^2=1$, vi sätter alltså ${\cos }^2\left(t\right)={\left(\frac{x-1}{2}\right)}^2 \Rightarrow x=...?$

Kan du fortsätta därifrån?

jag kan dessvärre inte göra det för jag vet inte hur -1 förhåller sig till när jag parametriserar den,

x = 2cos t men när -1 är med så vet ej vad jag ska göra men den om det ska vara 2cos t - 1 eller 2-1cost eller 2cos(1-t) eller 2cos(t-1). ser inte logiken i detta därav kan jag ej tänka ut ett svar heller

Du ska alltså lösa ekvationen för x. Gör som vanligt: Roten ur, multiplicera, addera: $\cos \left(t\right)=\frac{x-1}{2} \iff 2·\cos \left(t\right)=2·\frac{x-1}{2}=x-1 \iff 2·\cos \left(t\right)+1=x-1+1=x$, alltså är $x=2·\cos \left(t\right)+1$.

Hängde du med på det?

Maremare, det står i Pluggakutens regler att man bara skall ha en fråga/uppgift i varje tråd. Hur du parametriserar kurvan c har ingenting att göra med hur parametriseringen för kurva b är - så gör en ny tråd om c-uppgiften. /moderator

Tog bort ett off topic-inlägg /moderator

Moffen skrev:

Du ska alltså lösa ekvationen för x. Gör som vanligt: Roten ur, multiplicera, addera: $\cos \left(t\right)=\frac{x-1}{2} \iff 2·\cos \left(t\right)=2·\frac{x-1}{2}=x-1 \iff 2·\cos \left(t\right)+1=x-1+1=x$, alltså är $x=2·\cos \left(t\right)+1$.

Hängde du med på det?

jaha jag förstår, då är jag med, tusen tack för hjälpen med denna!

Det finns tyvärr - så vitt jag vet - ingen allmän metod för att lösa sådana här uppgifter, men det finns ett antal olika klassiska kurvor som är bra att känna igen och kunna parametrisera. Två av dessa, som dök upp i den här uppgiften, är ellipser och grafer.

Ellipser. Den enklaste ellipsen är enhetscirkeln $x^2+y^2=1$, och när man väl har insett att man kan parametrisera den med exempelvis

   $\left\{\begin{array}{l}x=\cos(t)\\ y=\sin(t)\,,\end{array}\right.$

så är steget till att parametrisera en godtycklig ellips enkelt om man kan linjär algebra. Varje ellips i $\mathbb{R}^2$ kan nämligen erhållas genom att applicera en linjär avbildning följt av en parallellförflyttning på den här parametriseringen. Mer precist, så kan en generell ellips i $\mathbb{R}^2$ parametriseras som

   $\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & c\\ b&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos(t)\\\sin(t)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix},$

dvs.

  $\left\{\begin{array}{l}x=a\cos(t)+c\sin(t)+x_0\\y=b\cos(t)+d\sin(t)+y_0\,,\end{array}\right.$

för lämpliga konstanter $a,b,c,d,x_0,y_0\in\mathbb{R}$. Ofta går det att pröva sig fram till lämpliga konstanter, eller göra en ansats i stil med det Moffen gick igenom ovan.

I specialfallet när ellipsen är en cirkel med radie $r>0$ och centrum $(x_0,y_0)$, och alltså (t.ex. med hjälp av kvadratkomplettering) kan skrivas på formen $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$, så kommer vi undan med en enklare parametrisering, nämligen

$\left\{\begin{array}{l}x=r\cos(t)+x_0\\y=r\sin(t)+y_0\,.\end{array}\right.$

Den här parametriseringen kommer förfölja dig genom hela din matematiska utbildning, så den är väl värd att fundera lite extra över. Ett tips för att bli bekäm med den kan vara att skriva in den i en grafritare (t.ex. så här i Geogebra), och leka runt lite med den.

Grafer. Om vi bara har en ekvation, och en av variablerna går att lösa ut (vilket innebär att lösningsmängden är grafen till en funktion), så finns det alltid en "trivell" parametrisering, som erhålls genom att införa en parameter för alla parametrar utom den utlösta variabeln. I fall (c) så kan vi exempelvis skriva om ekvationen till

   $x=y^2-1\,,$

och det är då uppenbart att

   $\left\{\begin{array}{l}x=t^2-1\\y=t\end{array}\right.$

gör jobbet. 

En alternativ parametrisering av enhetscirkeln är förresten

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\y=\frac{2t}{1+t^2}\,,\quad t\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}\,. \end{array}\right.$

Övning 1. Utgå från den här parametriseringen för att hitta en alternativ lösning till uppgift (a) och (b).

Övning 2. Lek runt lite med den här parametriseringen i Geogebra eller valfri annan grafritare. Fundera gärna också på vad man menar man när man säger att den tidigare parametrseringen (med sinus och cosinus) har "konstant fart", medan den här parametriseringen inte har "konstant fart"?