parametrisering av randen i område

Parametrisering i ditt fall är x=cos v, y=sin v. När v varierar från 0 till 2pi kommer x,y att löpa igenom den inre randen. Plötsligt har du bara en variabel, v, och det gör undersökningen enklare. Om till exempel funktionen är $2+2y-x^2$ blir den $2+2\sin v - \cos^2v$ på den inre randen och det är en vanlig optimeringsuppgift (som blir superenkel om man skriver om uttrycket som $(1+\sin x)^2$.

Men parametrisering är bara en av flera metoder att undersöka randen. Du kommer nog att möta Lagrangemultiplikatorn senare.

Extremvärdena till din funktion kan antingen ligga någonstans inne i området (då hittar du dem med hjälp av att derivera soch sätta derivatan till 0) eller också ligger de nånstans på kanten. Du behöver alltså undersöka kanten ( = randen) separat. Du undersöker hur funktionen varierar när du flyttar dig längs kanten av området, och så deriverar du och sätter derivatan lika med 0. Om du hade haft några punkter där randen t ex har ett hörn, måste du undersöka dessa separat också.

Du gjorde säkert likadant på gymnasiet - för att ta reda på en funktions största eller minsta värde räckte det inte att kolla var funktionens derivata var 0, men måste kolla randpunkterna också.

Ditt område är en cirkelring. Den ena randen är en cirkel med radien 1, den andra en cirkel med radien 2.

smaragdalena skrev :

Extremvärdena till din funktion kan antingen ligga någonstans inne i området (då hittar du dem med hjälp av att derivera soch sätta derivatan till 0) eller också ligger de nånstans på kanten. Du behöver alltså undersöka kanten ( = randen) separat. Du undersöker hur funktionen varierar när du flyttar dig längs kanten av området, och så deriverar du och sätter derivatan lika med 0. Om du hade haft några punkter där randen t ex har ett hörn, måste du undersöka dessa separat också.

Du gjorde säkert likadant på gymnasiet - för att ta reda på en funktions största eller minsta värde räckte det inte att kolla var funktionens derivata var 0, men måste kolla randpunkterna också.

Ditt område är en cirkelring. Den ena randen är en cirkel med radien 1, den andra en cirkel med radien 2.

okej!

så jag har 2 st så kallade ränder att undersöka? den ena då jag får parametriseringen: f(x,y)=f(cosr,sinr) och andra då f(x,y)= f(2cosr,2sinr) ?

Henrik Eriksson skrev :

Parametrisering i ditt fall är x=cos v, y=sin v. När v varierar från 0 till 2pi kommer x,y att löpa igenom den inre randen. Plötsligt har du bara en variabel, v, och det gör undersökningen enklare. Om till exempel funktionen är $2+2y-x^2$ blir den $2+2\sin v - \cos^2v$ på den inre randen och det är en vanlig optimeringsuppgift (som blir superenkel om man skriver om uttrycket som $(1+\sin x)^2$.

Men parametrisering är bara en av flera metoder att undersöka randen. Du kommer nog att möta Lagrangemultiplikatorn senare.

Jag läste i ett forum om ett liknande problem och då är ett sätt att parametrisera f(x,y) = f(rcosx,rsinx), där r ligger mellan 1 och 2. och x mellan 0 och 2pi. Och man skulle därför få ett rektangulärt område i stället för en sån där "munk". Jag förstår inte riktigt varför man göra så och varför det blir enklare. gör du?

Det betyder att man har gått över till polära koordinater. Ibland kan man få mycket enklare beräkningar om man gör så.

smaragdalena skrev :

Det betyder att man har gått över till polära koordinater. Ibland kan man få mycket enklare beräkningar om man gör så.

jo jag förstår det. Men har funktionen $\frac{2}{x^2+y^2}+xy$ som jag då vill parametrisera med poläta koordiater och sedan derivera och lösa för derivatan = 0.

Jag vet att om min rand är enhetscirkeln att jag kan parametrisera min funktion som$h(t)=\frac{2}{cost^2+sin^2}+cost*sint$ men nu har jag ju två ränder så hur fungerar det då?

Du tittar på varje rand för sig. I det ena fallet blir första termen konstant lika med 2 och i det andra fallet lika med 1. Du kan skriva om cost*sint med en av de trigonometriska identiteterna, så får du ett mycket enklare uttryck att derivera.

smaragdalena skrev :

Du tittar på varje rand för sig. I det ena fallet blir första termen konstant lika med 2 och i det andra fallet lika med 1. Du kan skriva om cost*sint med en av de trigonometriska identiteterna, så får du ett mycket enklare uttryck att derivera.

Ja okej tack då var det som jag trodde.