Parsevals formel

Hej!

Du ska beräkna Fourierkoefficienterna

    $\displaystyle c_{n} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\pi^2-t^2)e^{-int}\text{d}t$

och du ska beräkna $L^2$-normen till din funktion

    $\displaystyle ||f||^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\pi^2-t^2)^2\text{d}t.$

Parseval säger att $L^2$-normen bestäms av Fourierkoefficienterna.

    $\displaystyle||f||^2 = \sum_{n=-\infty}^\infty |c_{n}|^2.$

Albiki skrev :

Hej!

Du ska beräkna Fourierkoefficienterna

    $\displaystyle c_{n} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\pi^2-t^2)e^{-int}\text{d}t$

och du ska beräkna $L^2$-normen till din funktion

    $\displaystyle ||f||^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\pi^2-t^2)^2\text{d}t.$

Parseval säger att $L^2$-normen bestäms av Fourierkoefficienterna.

    $\displaystyle||f||^2 = \sum_{n=-\infty}^\infty |c_{n}|^2.$

Tack för hjälpen, har försökt nu men får inte samma svar som facit. Såhär gjorde jag:

$f^2=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}{\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}({\mathrm{\pi }}^2-{\mathrm{t}}^2{)}^2\mathrm{dt}=\frac{{\mathrm{\pi }}^4}{5}+\frac{2{\mathrm{\pi }}^5}{3}$

$f^2=\sum _{-\infty }^{\infty }{\left(c_n\right)}^2=-4\sum _{-\infty }^{\infty }\frac{1}{n^2}$

$C_n=-\frac{2(-1{)}^n}{n^2}$

och jag får detta som svar:

$=-\frac{{\pi }^4}{20}+\frac{{\pi }^5}{6}$

Facit säger:

$\frac{16{\mathrm{\pi }}^4}{15}=\frac{8{\mathrm{\pi }}^4}{9}+\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }\frac{1}{{\mathrm{n}}^4}=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }\frac{1}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}}=\frac{{\mathrm{\pi }}^4}{90}$

Hej Spacemonkey,

Man kan ställa upp Parseval i många skepnader och det är okej att beräkna <f,f> eller ||f||² så länge du håller ordning på intervall, norm och bas, men vi måste enas om att integralen för $f(t)=\pi^2-t^2$ över intervallet är

$\int_{-\pi}^{\pi} |f(t)|^2dt=\frac{16\pi^5}{15}$

Normaliseringskonstanten på intervallet $[-\pi,\pi]$ är $\sqrt{\frac{1}{2\pi}}$ för $e^{int}$ så

$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} |f(t)|^2\,\mathrm{d}t=2\pi\sum_{-\infty}^\infty |c_n|^2$

Jag håller med dig om att för $n\neq 0$

$|c_n|^2=\frac{4}{n^4}$

Men för n=0 gäller

$c_0=\displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{-\pi}(\pi^2-t^2)\,\mathrm{d}t=\frac{2\pi^2}{3}$

$|c_0|^2=\frac{4\pi^4}{9}$

$\displaystyle \therefore \frac{16\pi^5}{15}=2\pi \left(\frac{4\pi^4}{9}+2\sum_{n=1}^\infty\frac{4}{n^4} \right )$

Där vi utnyttjade att summan är symmetrisk kring n=0.

Om vi vill kan vi lösa ut summan

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}$