Partiell integrering

Integralen $\int \frac{1}{x \ln x} d x = \ln (\ln x) + C$

vilket löses med variabelsubstitutionen x=e^t.

Partiell integrerings genom

$\int f (x) g (x) d x = F (x) g (x) - \int F (x) g' (x) d x$

ger

$\int \frac{1}{x \ln x} d x = \ln x \cdot \frac{1}{\ln x} + \int \ln x \cdot \frac{1}{x (\ln x)^{2}} d x = 1 + \int \frac{1}{x \ln x} d x$

dvs 0 = 1

Att undvika att x eller lnx =0 ändrar inte.

Så var blir det fel?

Det är inte fel, det är bara oanvändbart. Du har inte fått att 0 = 1, för det finns ju en integrationskonstant också.

Laguna skrev:
Det är inte fel, det är bara oanvändbart. Du har inte fått att 0 = 1, för det finns ju en integrationskonstant också.

ett annat exempel

$\int_{0}^{1} 1 \cdot x d x = {[\begin{matrix} x \cdot x \end{matrix}]}^{1}_{0} - \int_{0}^{1} x d x {[\begin{matrix} \frac{x^{2}}{2} \end{matrix}]}_{0}^{1} = {[\begin{matrix} \begin{matrix} x^{2} \end{matrix} \end{matrix}]}_{0}^{1} - {[\begin{matrix} \frac{x^{2}}{2} \end{matrix}]}_{0}^{1}$

vilket stämmer

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x \ln x} = {[\begin{matrix} \ln x \cdot \frac{1}{\ln x} \end{matrix}]}_{2}^{3} + \int_{2}^{3} \ln x \cdot \frac{1}{x \ln^{2} x} d x \int_{2}^{3} \frac{1}{x \ln x} d x = {[\begin{matrix} 1 \end{matrix}]}_{2}^{3} + \int_{2}^{3} \frac{1}{x \ln^{} x} d x \int_{2}^{3} \frac{1}{x \ln x} d x = 0 + \int_{2}^{3} \frac{1}{x \ln^{} x} d x$

så vid partiell integrering av denna funktion får man den ursprungliga.

Intressant om dock nödvändigt,

Svara