Partiell differentialekvation av första ordningen.
Hej! Jag har fastnat på en uppgift där det gäller att lösa en partiell differentialekvation med hjälp av variabelbyte och ett bygnnelsevillkor. Den lyder så här:
Så här har jag tänkt:
Så det jag har gjort är att använda det föreslagna variabelbytet och deriverat f(u,v) med hjälp av kedjeregeln och sedan satt in uttrycken för f'x och f'y i differentialekvationen i termer av u och v som jag fått fram.
Då var det flera termer som tog ut varandra och kvar fick jag två termer med f'u och en term med f'v.
Sedan försökte jag välja a på ett lämpligt sätt enligt uppgiften så att f'u-termerna tog ut varandra, och ett lämpligt a verkade vara -1.
Så till slut fick jag bara kvar f'v = 0.
Integration med avseende på v ger väl då att f(u,v) = g(u). Och det är ekvivalent med att f(x,y) = g((y^2/x^2)-(1/x)).
Sedan försökte jag använda villkoret (bild 2) för att bestämma f(x,y). Men det blir fel, och jag förstår inte vad jag gör för fel.
Jättetacksam för hjälp!
f(x, y) = g(y2/x2 - 1/x)
f(x, 0) = g(-1/x) = -2x
Vilken funktion är g om g(-1/x) = -2x?
Jag tycker att det borde vara den här funktionen? 
För om man sätter in y = 0 och x = -1/x så får man -2x? Men det blir fel. Förstår inte varför dock.
Du skall sätta in y = 0 och x = x och då få -2x.
Det är enklare än du tror.
Vi vill ha g(-1/x) = -2x. Kalla -1/x för t (x = -1/t).
g(t) = -2(-1/t) =2/t. Således g(t) = 2/t.
Oj, det har var svårt att förstå tyckte jag. Då tycker jag det verkar som att funktionen borde bli
? För om jag då sätter in x =-x och y = 0 får jag -2x. Men det är inte rätt. Jag förstår inte hur jag får fram vad funktionen måste bli genom att ersätta t med -1/x?
oj menar +2x i bilden
Vi har ju bestämt funktionen g. g(t) = 2/t.
f(x, y) = g(y2/x2 - 1/x) = 2/(y2/x2 - 1/x).
Aha, jag tror att jag förstår poängen nu med att ersätta -1/x med t. Tack så mycket för hjälpen!
