Partiell integration

Önskar hjälp med följande uppgift:

Beräkna $\int_{1}^{e^{2}} (x + \ln x) d x$

Såhär har jag börjat:

$\int_{1}^{e^{2}} (x + \ln x) d x = = \int_{1}^{e^{2}} (x + \ln x) 1 d x = = {[\begin{matrix} x + x \ln x \end{matrix}]}_{1}^{e^{2}} - \int_{1}^{e^{2}} x + 1 d x = = {[\begin{matrix} x + x \ln x \end{matrix}]}_{1}^{e^{2}} - {[\begin{matrix} \frac{x^{2}}{2} + x \end{matrix}]}_{1}^{e^{2}} = = ((e^{2} + e^{2} \ln e^{2} - 1 - \ln 1) - (\frac{e^{4}}{2} + e^{2} - \frac{1}{2} - 1)$

Partiell integration används när två funktioner multipliceras med varandra formeln är

$\int_{}^{} f (x) \cdot g (x) d x = F (x) \cdot g (x) - \int_{} f (x) \cdot g' (x) d x$ Du behöver inte använda något sånt i denna uppgift

du kan dock anända $\int_{} f (x) \pm g (x) d x = \int_{} f (x) d x \pm \int_{} g (x) d x$

Kallaskull skrev:
Partiell integration används när två funktioner multipliceras med varandra formeln är
$\int_{}^{} f (x) \cdot g (x) d x = F (x) \cdot g (x) - \int_{} f (x) \cdot g' (x) d x$ Du behöver inte använda något sånt i denna uppgift
du kan dock anända $\int_{} f (x) \pm g (x) d x = \int_{} f (x) d x \pm \int_{} g (x) d x$

Blir inte det jättesvårt med lnx?

Helette skrev:
Kallaskull skrev:
Partiell integration används när två funktioner multipliceras med varandra formeln är
$\int_{}^{} f (x) \cdot g (x) d x = F (x) \cdot g (x) - \int_{} f (x) \cdot g' (x) d x$ Du behöver inte använda något sånt i denna uppgift
du kan dock anända $\int_{} f (x) \pm g (x) d x = \int_{} f (x) d x \pm \int_{} g (x) d x$
Blir inte det jättesvårt med lnx?

Herregud va dum jag är ursäkta. Jag skulle antagligen först bryta upp den till två med addition/substraktions lagarna och sedan använda partiell integration på lnx

$\int_{}^{} \ln x d x = \int_{}^{} \ln x \cdot 1 d x = [\ln x \cdot x] - \int_{} x \cdot \frac{1}{x} d x = [\ln x \cdot x] - \int_{} 1 d x$

Jo, på $\ln(x)$ -integralen behöver man använda partialintegration. Det är faktiskt ett fultrick där man använder partialintegration med $1$ och $\ln(x)$ .

Dock behöver du inte partialintegrera $x$ -termen; den är lätt. Dela därför upp integralen enligt:

$\displaystyle \int_1^{e^2}$ $x+\ln(x)\ dx=$ $\displaystyle \int_1^{e^2} x\ dx+\int_1^{e^2}$ $\ln(x)\ dx$

och använd partialintegration enbart på den högra integralen.

Svara Avbryt

Visa senaste svar