Partiell integration, härledning av formel.

Visserligen vid härledning tar man ju derivatan av derivator, och sedan integrerar det, för att få tillbaka det uttryck vi egentligen vill integrera. Så man tar sig tillbaka till steg 1 egentligen, skillnaden är att man då har två uttryck i HL för att beskriva det. Ett av de här uttrycken symboliserar integralen av den ena derivatan eller funktionen, multiplicerad med andra derivatan av den primitiva funktionen av den andra, eller alternativt derivatan av funktionen.

Så man har egentligen ingen formel för två derivator multiplicerade med varandra, utan man måste skriva om den ena funktionen man vill integrera till sin derivatan, och sedan applicera formeln. Men då har man ju skrivit om integralen till någonting helt annat än det som var från början.

Blev mer förvirrande 😅

Man vill använda partiell integration för att hitta primitiv funktion/bestämd integral av en produkt av funktioner. Därför vill man att det på ena sidan av likhetstecknet ska stå ett integraluttryck där integranden är en produkt av två funktioner.

Hoppas det svarade på din fråga?

==== För den som är nyfiken på härledn8ngen m.hj.a. produktregeln ====

Produktregeln:

$(fg)'=f'g+fg'$

Integrera bägge sidor:

$fg=\int (f'g+fg')$

Skriv om HL:

$fg=\int f'g+\int fg'$

Vi kan stanna här, men vi vill ju att formeln ska hjälpa oss att hitta en integral av en produkt av funktioner. Därför lägger vi detta uttryck ensamt på ena sidan genom att subtrahera $\int fg'$ från båda sidor:

$fg-\int fg'=\int f'g$

====

Kommentar: Vi hade ju lika gärna kunnat subtrahera $\int f'g$ från båda sidor, vilket ger oss den ekvivalenta formeln

$fg-\int f'g=\int fg'$

Men är det inte integralen av fg vi är intresserade av? Nu löser vi ju för integralen av f'g, det är ju något helt annat? Eller ja, antagligen inte då, men jag kan inte släppa att det inte är samma sak.

Och ja, det är väl typ svaret på min fråga, men sen frångår vi ju det här och flyttar ena integralen till andra sidan och löser plötsligt (som jag ser det) för någonting helt annat?

Dkcre skrev:

Men är det inte integralen av fg vi är intresserade av? Nu löser vi ju för integralen av f'g, det är ju något helt annat? Eller ja, antagligen inte då, men jag kan inte släppa att det inte är samma sak.

Vi är intresserade av integralen av produkten av två funktioner. Sedan kan vi beteckna dessa funktioner f, g, F, G, f' eller g' lite som vi vill. Om vi förutsätter att F' = f och G' = g så ser du nog att formeln för partiell integration fungerar i alla dessa sammanhang?

Beroende på om vi betecknar dessa Formeln för partiell integration k ibland hjälpa till med det vara behjälpli hjälper 

 

Och ja, det är väl typ svaret på min fråga, men sen frångår vi ju det här och flyttar ena integralen till andra sidan och löser plötsligt (som jag ser det) för någonting helt annat?

Jag har formulerat om mitt svar, antagligen samtidigt som du skrev. Blev det tydligare då?

Jag är ledsen men jag förstår inte. Vi söker för en integral av produkten av f(x)g(x) men vi landar i slutändan i att söka efter integralen för f(x)g'(x) istället och säger att det är samma sak.

Det beror bara på hur du betecknar integrandens funktioner.

Du vill ha en formel för partiell integration av produkten $fg$.

Utgå då från derivering av $fG$ med hjälp av produltregeln:

$(fG)'=f'G+fG'=f'G+fg$

Integrera bägge sidor:

$fG=\int f'G+\int fg$

Subtrahera $\int f'G$ från båda sidor:

$fG-\int f'G=\int fg$

Ser du då att det är "samma sak"?

(Det hade gått lika bra att utgå från derivatan av produkten $Fg$)

Ja, det där är ju otroligt mycket simplare. Det förstår jag. Men jag ser inte att det är samma som det andra. Vet inte varför, jag förstår det bara inte. Får låta det gå några dagar och se om det går in på något sätt.

Dkcre skrev:

Ja, det där är ju otroligt mycket simplare. Det förstår jag.

OK vad bra!

Men jag ser inte att det är samma som det andra. Vet inte varför, jag förstår det bara inte. Får låta det gå några dagar och se om det går in på något sätt.

Det är exakt samma struktur:

"Integralen av produkten av två funktioner är lika med den ena funktionen multiplicerat med den primitiva funktionen till den andra, subtraherat med integralen av (derivatan av den ena funktionen multiplicerat med den primitiva funktionen till den andra)"..

Beroende på hur du sedan kallar de två funktionerna (f, f', F, g, g', eller G) så får du de olika varianterna av formeln för partiell integration.

Men så det spelar ingen roll vad vi kallar funktionerna eller om det i slutändan blir integralen av två derivator till de här funktionerna (som bara också är 2 funktioner) eller vad som helst, eftersom det i vilket fall blir ett uttryck för en integral för två funktioner som gäller för alla funktioner oberoende om det är en primitiv till en annan multiplicerat med tredje derivatan av en annan? Det är vad du försöker säga?

Sen om det är integralen av f(x)g'(x) eller f'''(x)g''(x) spelar ingen roll, för jag kan bara då definiera dessa som exempelvis f'''(x) = h(x) och g''(x) = k(x) och då säga integralen av h(x)k(x)?

Ja, det stämmer.

Nvm.

Tack för hjälpen!