14 svar
89 visningar
ilovechocolate 363
Postad: 12 okt 21:11

Partikulär lösning

jag ska lösa differentialekvationen som står högst upp på bilden. Förstår inte hur jag ska få till partikulär lösningen. Något blir fel, då facit har skrivit detta som svar 

står det verkligen ct+0 i parantesen? 

Prova yp=eλty_p=e^{\lambda t} istället, det blir nog lite enklare. Annars blir det rätt enkelt med Laplace men antar att ni inte gått igenom det?

ilovechocolate 363
Postad: 12 okt 21:36

Förlåt, det är jag som skriver otydligt. Den där "nollan" är ett D. Så det står (Ct+D). Men det blir ju samma sak med den partikulärlösningen. Får det även där 0 på VL 😪

Dracaena Online 3812 – Moderator
Postad: 12 okt 21:46 Redigerad: 12 okt 21:53

λ2eλt+2λeλt+eλt=(λ2+2λ+1)eλt=0,eλt0(λ2+2λ+1)=0\lambda ^2 e^{\lambda t} +2\lambda e^{\lambda t}+e^{\lambda t}=(\lambda ^2 + 2\lambda +1)e^{\lambda t}=0, e^{\lambda t} \neq 0 \implies (\lambda ^2 + 2\lambda +1)=0

Kommer du vidare då? Nu har vi alltså löst den karakteristiska ekvationen.

Efter detta kvarstår att göra en ansats, men teckan först ett uttryck för y(t)y(t) genom att lösa den karakteristiska ekvationen.

PATENTERAMERA 2933
Postad: 12 okt 21:59

Ansätt yp(t) = z(t)e-t.

Vi får efter lite arbete att e-tz’’(t) = e-t, vilket ger att z’’(t) = 1, vilket ger z(t) = t2/2.

PATENTERAMERA skrev:

Ansätt yp(t) = z(t)e-t.

Vi får efter lite arbete att e-tz’’(t) = e-t, vilket ger att z’’(t) = 1, vilket ger z(t) = t2/2.

Mycket riktigt, mitt första inlägg är lite tramsigt måste jag säga, vad ett bra tag sedan jag löste BVP etc utan att använda laplace så fick tänka till lite själv.

Nu har du iaf allt du behöver för att lösa diffen @ilovechocolate. :)

ilovechocolate 363
Postad: 12 okt 22:02
Dracaena skrev:

λ2eλt+2λeλt+eλt=(λ2+2λ+1)eλt=0,eλt0(λ2+2λ+1)=0\lambda ^2 e^{\lambda t} +2\lambda e^{\lambda t}+e^{\lambda t}=(\lambda ^2 + 2\lambda +1)e^{\lambda t}=0, e^{\lambda t} \neq 0 \implies (\lambda ^2 + 2\lambda +1)=0

Kommer du vidare då? Nu har vi alltså löst den karakteristiska ekvationen.

Efter detta kvarstår att göra en ansats, men teckan först ett uttryck för y(t)y(t) genom att lösa den karakteristiska ekvationen.

Menar du såhär? 
Eller är jag bara helt ute och cyklar nu? 🤔

ilovechocolate 363
Postad: 12 okt 22:10
PATENTERAMERA skrev:

Ansätt yp(t) = z(t)e-t.

Vi får efter lite arbete att e-tz’’(t) = e-t, vilket ger att z’’(t) = 1, vilket ger z(t) = t2/2.

Nu tappa du mig helt. Du ansätter yp som y=ze-t. Detta ger y'=-ze-t och y''=ze-t. Hur kom du fram till resten? 😥

Dracaena Online 3812 – Moderator
Postad: 12 okt 22:16 Redigerad: 12 okt 22:20

Du måste ta fram första samt andraderivatan och stoppa in i diffen.


Tillägg: 12 okt 2021 22:20

Notera att det inte är ze-tze^{-t} utan z(t)e-tz(t)e^{-t} så att du måste använda produktregeln.

PATENTERAMERA 2933
Postad: 12 okt 22:34

Precis som Dracaena säger.

(ze-t)’ = z’e-t - ze-t. Osv.

ilovechocolate 363
Postad: 14 okt 18:31

Typ såhär

Fast det blev fortfarande inte riktigt rätt…

PATENTERAMERA 2933
Postad: 14 okt 18:56

z är en funktion inte en konstant.

yp = ze-t

y’p = z’e-t - ze-t

y’’p = z’’e-t - z’e-t - z’e-t + ze-t

y’’p + 2y’p + yp = e-t =>

z’’e-t = e-t => z’’ = 1.

ilovechocolate 363
Postad: 14 okt 19:52 Redigerad: 14 okt 19:52

Okej! Men måste fråga då, varför har du lagt till ett z överhuvudtaget? Hänger inte riktigt med på det, och det är därför jag försöker få bort den 😅

Väldigt ofta blir det enklare att ansätta en funktion på formen z(t), om du inte vill så behöver du inte men eftersom du redan i din karakteristiska har t(ae-t)t(ae^{-t}) så måste du multiplicera med t så att du isf måste ansätta t2(ae-t)t^2(ae^{-t}) vilket förmodligen kommer bli grisigare i detta fallet men det fungerar ju också om du vill det.

PATENTERAMERA 2933
Postad: 14 okt 21:10
ilovechocolate skrev:

Okej! Men måste fråga då, varför har du lagt till ett z överhuvudtaget? Hänger inte riktigt med på det, och det är därför jag försöker få bort den 😅

Titta här.

Svara Avbryt
Close