Partikulärlösning

Vilken ansats är lämplig att göra?

Skriva y på formen $Ax{e}^x+B\sin Cx$? Då får jag 2 av tre termer rätt men jag får $-\frac{2}{3}$som konstant framför $e^x$ istället för $-\frac{2}{9}$.

I och med att argumentet för sinusfunktionen inte ändras vid derivering kan du sätt C=2, då har du bara 2 obekanta att bestämma.

Jag har löst B och C redan men jag får A till $-\frac{1}{3}$ vilket stämmer för $x{e}^x$termen men inte  $e^x$ termen som uppstår när jag deriverar.

Visa dina uträkningar

$$\begin{gathered} y=Ax{e}^x+B\sin 2x \\ {y}^{\text{'}\text{'}}=Ax{e}^x+2A{e}^x-4B\sin 2x \\ {y}^{\text{'}\text{'}}-4y=-3Ax{e}^x+2A{e}^x-8B\sin 2x \end{gathered}$$

Du bör redovisa förstaderivatan också.

$y^{\text{'}}=Ax{e}^x+A{e}^x+2B\cos 2x$

Var något fel i uträkningen?

Var något fel i uträkningen?

Det tror jag inte, men det var svårt att se när ett viktigt steg saknades.

Då har du att  Axe^x+Ae^x+2Bcos2x = xe^x+sin(2x) och det stämmer inte för något värde på B, så du får nog göra en ny ansats med både sinus-och cosinusterm.

Tillägg: 11 okt 2022 17:14

Oj, jag råkade sätta in fel uttryck.

Hur fick du den likheten? Ursprungsekvationen var $y^{\text{'}\text{'}}-4y$.

Hmm, ja det ser ut som att ansatsen blir fel.

När du ska göra ansatser för polynom, måste du ha med alla termer med lägre exponenter, dvs ansatsen för $3x^{}$ är inte $A{x}^{}$utan $Ax+B$. Detta bör även gälla då du multiplicerar med $e^x$.

Med det sagt, testa ansatsen $(Ax+B)e^x+C\sin \left(2x\right)$, du behöver inga cosinustermer iom att dessa ändå inte kommer tillföra några sinustermer för nollte och andra derivatan.

Tack nu löste det sig!