Partikulärlösning till differentialekvation

Har problem att få fram första partikulärlösningen (e^3x), någon som vet vad jag ska göra i sista steget? Min mattelärare säger på videon om detta område, att om både y' och y saknas är det bara att integrera, men jag förstår inte hur det hjälper mig i detta fallet? Tack på förhand!

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}\text{'}-6\mathrm{y}\text{'} +9y = {\mathrm{e}}^{3\mathrm{x}} + \mathrm{sinx} \\ {y}_{p1}: \\ {y}_p=z{e}^{3x} \\ y{\text{'}}_p=e^{3x}(z\text{'} +3z) \\ y\text{'}\text{'} = 3e^{3x}(z\text{'} + 3z) + e^{3x}(z\text{'}\text{'} + 3z\text{'}) \\ 3z\text{'}{e}^{3x} + 9z{e}^{3x} + z\text{'}\text{'}{e}^{3x} + 3z\text{'}{e}^{3x} - 6z\text{'}{e}^{3x} - 18z{e}^{3x} + 9z{e}^{3x} = e^{3x} \\ \iff z\text{'}\text{'} = 1 \end{gathered}$$

Då tänker jag att integrerar z'' här och får då alltså: 

$$\begin{gathered} \int z\text{'}\text{'}dx = \int 1dx \\ z\text{'} = x + a \\ \int z\text{'}dx = \int (x+a)dx \\ z =\frac{ x^2}{2} + ax + b \end{gathered}$$