4 svar
33 visningar
Aorta är nöjd med hjälpen
Aorta 157
Postad: 20 feb 10:16

Partikulärlösningar

Hej! 
På den här uppgiften hänger jag ej med i lösningsförslaget. Jag har ringat in det med rött. Hur kan man dela upp lösningen sådär och separera de olika termerna? Det känns olagligt eller som att jag missat något.

Trinity2 1353
Postad: 20 feb 11:03

Derivata är en linjär operator och e^x och e^(-x) är "linjärt oberoende" funktioner vilket gör att man kan dela upp dem som i lösningen. 

Dock är det ej nödvändigt. Om du ansätter y=ue^x+ve^(-x) kommer du att få

y''+2y'+y = (u''+4u'+4u)e^x + v''e^(-x)

och då e^x och e^(-x) är "linjärt oberoende" måste vi ha

u''+4u'+4u = 1

v'' = 1

och vi är tillbaka till bokens lösningar för dessa

(det är som när du jämför koefficienter i en ekvation likt

Ax^2+Bx+C = 7x^2+3x-8

Här hade du ej tvekat att säga att A=7, B=3 och C=-8. Återigen beror detta på att x^2, x och "konstant" är linjärt oberoende, de är "funktionsbaser" i ett funktionsrum och kan ej uttryckas med hjälp av varandra.)

Aorta 157
Postad: 23 feb 10:30

Tack för utförligt svar! Hur kan jag se om de är linjärt beroende eller inte? är det om de är av samma grad? Alltså, när kan jag dela upp det såhär?

Aorta 157
Postad: 23 feb 10:52
Trinity2 skrev:

u''+4u'+4u = 1

v'' = 1

och vi är tillbaka till bokens lösningar för dessa

När v'' =1 tycker jag att v = x22+cx + d. Varför läggs inga konstanter till när man integrerar v''?

Aorta 157
Postad: 27 feb 10:10
Aorta skrev:
När v'' =1 tycker jag att v = x22+cx + d. Varför läggs inga konstanter till när man integrerar v''?

Är detta för att vi söker en partikulärlösning, alltså EN lösning på problemet och därför väljer c och d till 0?

Svara Avbryt
Close