Partikulärlösningar

Derivata är en linjär operator och e^x och e^(-x) är "linjärt oberoende" funktioner vilket gör att man kan dela upp dem som i lösningen. 

Dock är det ej nödvändigt. Om du ansätter y=ue^x+ve^(-x) kommer du att få

y''+2y'+y = (u''+4u'+4u)e^x + v''e^(-x)

och då e^x och e^(-x) är "linjärt oberoende" måste vi ha

u''+4u'+4u = 1

v'' = 1

och vi är tillbaka till bokens lösningar för dessa

(det är som när du jämför koefficienter i en ekvation likt

Ax^2+Bx+C = 7x^2+3x-8

Här hade du ej tvekat att säga att A=7, B=3 och C=-8. Återigen beror detta på att x^2, x och "konstant" är linjärt oberoende, de är "funktionsbaser" i ett funktionsrum och kan ej uttryckas med hjälp av varandra.)

Tack för utförligt svar! Hur kan jag se om de är linjärt beroende eller inte? är det om de är av samma grad? Alltså, när kan jag dela upp det såhär?

Trinity2 skrev:

u''+4u'+4u = 1

v'' = 1

och vi är tillbaka till bokens lösningar för dessa

När v'' =1 tycker jag att v = $\frac{x^2}{2}+cx + d$. Varför läggs inga konstanter till när man integrerar v''?

Aorta skrev:

När v'' =1 tycker jag att v = $\frac{x^2}{2}+cx + d$. Varför läggs inga konstanter till när man integrerar v''?

Är detta för att vi söker en partikulärlösning, alltså EN lösning på problemet och därför väljer c och d till 0?