Permutationer

Ja du har ju att

(1 3 2)

avbildar 1:an på 3, sedan avbildar

(4 3 2 7)

3:an på 2 och sedan blir 2:an avbildad på 4 av (2 4 5).

Så alltså mappas 1 till 4 av $\alpha$. Därför börja man med

(1 4

Sedan tittar vi vart 4:an avbildas. Första cykeln lämnar den orörd, nästa avbildar 4:an på 3. Sedan blir 3:an lämnad orörd av sista cykeln. Alltså fortsätter man

(1 4 3

Sedan kollar man vart 3:an kommer avbildas. Då ser man att första cykeln avbildar den på 2, sedan nästa cykel avbildar 2:an på 7 sista cykeln lämnar 7:an orörd. Alltså får man

(1 4 3 7

Sedan fortsätter man såhär.

okej då är jag med, och sedan vid multiplikation som tar man alltså bara de element som endast finns i alfa och skriver ut dom först så vi får (1 4) ( 2 3 5 7) ?

men vad vill dom egentligen att man ska göra när vi ska skriva alfa som produkt av transpositioner? där ska vi få (12)(42)(32)(72)(52), varför får vi 2an i samtliga fall?

Jag vet inte om jag hängde med hur du menar man gör vid multiplikationen? Om det är vid $\alpha * \beta$ så gör man egentligen på exakt samma sätt som jag beskrev tidigare. Du har att $\alpha$är någon cykel sedan är $\beta$ någon/några cykler och då får man att sätter man bara dessa bredvid varandra och utför samma procedur jag beskrev här ovanför.

Transpositioner är cykler som bara består av två element. Så dom vill alltså att du ska skriva dem som en produkt av sådana.

okej då var det bara en tillfällighet att det blev som jag trodde.  Ska man alltså läsa att i alfa avbildar 1 på 3 och 3 avbildar 7 i beta som avbildar 4 i alfa och eftersom vi inte har någon 4a i beta så slutar vi där och får då första cykeln (14)

Vid transposen ser jag ju att det dom har gjort är att ta alla tal framför 2an men det måste ju finnas någon logik i det som jag inte riktigt har koll på.

Du har ju att $\alpha$ avbildar 1 på 4. Sedan har du att $\beta$ avbildar 4 på 1. Så då får du att första cykeln blir (1 4). Sedan fortsätter du att kolla var 2 avbildas, det startar nästa cykel.

Jag vet inte riktigt hur jag ska förklara transpositionerna mer än att du bör testa hur det blir när du kollar hur den avbildar sakerna.

jag är inte helt med, att alfa avbildar 1 på 4 är jag med på, men sedan ska vi föra över det på beta och där saknar vi ju elementet 4

Ja alltså $\alpha$ ger ju 1 -> 4 sen rör inte $\beta$ 4:an. Så vi får (1 4.

För att fortsätt nu så kollar vi var 4 avbildas av produkten, eftersom $\alpha$ avbildar 4:an på 3 och sedan så avbildar $\beta$ 3:an på 1 så får man alltså att produkten $\alpha * \beta$ avbildar 4 på 1. Så då är vi alltså färdiga med denna cykel och får (1 4).

okej då är jag med på första delen, tittar man sedan så ser vi att efter att vi gjorde första steget med permutationerna och fick alfa=(143752) och beta=( 1725) så ser vi att :

alfa ger 2->1 och beta 1->7

alfa ger 3->7 och beta 7->2

alfa ger 5->2 och beta 2->3

alfa ger 7->5 och beta 5->1

vi kan då se att vi hittar ett element som avbildar det vi har i alfa medans i fallet 1->4 så stannar vi i alfa då vi inte har ett  element i beta att avbilda 4an på

Fast i $\beta$ så verkar du iaf sakna 3:an. 3 bör avbildas på 1 av beta.

c uppgiften tror jag att jag löste rätt, då man får fram ordningen av alfa*beta genom att vi har en 2-cykel och en 4-cykeln efter multiplikationen och man ska ta MGM(2,4)=4 alltså får vi ordning 4.

I den sista uppgiften så ska man lösa ekvationen $\alpha \zeta {\alpha }^{-1}=\beta$

där såg jag i svaret att dom satte ${\alpha }^{-1}a\zeta {\alpha }^{-1}={\alpha }^{-1}\beta \leftrightarrow \zeta ={\alpha }^{-1}\beta \alpha$ 

Då måste vi alltså först hitta inversen till (143752) som ska bli (125734) men jag vet inte riktigt hur man ska komma fram dit.

För att hitta inversen så kolla om du ser mönstret i den där.

Du vet ju att $\alpha$ avbildar 2 på 1 så inversen måste avbilda 1 på 2. Du har att alpha avbildar 5 på 2 så inversen måste avbilda 2 på 5 osv.

okej vad bra då löste jag det och fick tillslut att $\zeta =\left(1745\right)$

Det enda jag hade lite problem med var att lösa ekvationen innan dvs hur man går från ${\alpha }^{-1}\alpha \zeta {\alpha }^{-1}={\alpha }^{-1}\beta$ till att få $\zeta ={\alpha }^{-1}\beta \alpha$ vad händer med de två alfa inverser i VL?

Du har ju att

$\alpha^{-1}\alpha = \alpha \alpha^{-1} = \epsilon$

Där $\epsilon$ är identitets permutationen. De tar alltså ut varandra.