Person Böiers Fler Variabel Analys. partiell differential ekvation.

Uppgiften är att lösa PDEn: $y\frac{\partial f}{\partial x} - x\frac{\partial f}{\partial y} = xyf(x,y)$, med startvärdet f(0,y)=$y^2$

Med hjälp av variabel bytet  $u=x^2+y^2, v=e^{-x^2/2}$

Kedjeregeln ger att

$$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial x}=2x\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}(-x{e}^{-x^2/2}) \\ \frac{\partial f}{\partial y}=2y\frac{\partial f}{\partial u} \end{gathered}$$

Insättning i original ekvationen ger

$$\begin{gathered} 2xy\frac{\partial f}{\partial u}-2xy\frac{\partial f}{\partial u}-xy{e}^{-x^2/2}\frac{\partial f}{\partial v}=f(x,y)xy\Rightarrow \\ f(x,y)+v\frac{\partial f}{\partial v}=0 \end{gathered}$$

Jag vet bara inte hur jag ska gå härifrån för att få in begynnelsevärdet. Facit ger svaret $f(x,y)=(x^2+y^2)e^{x^2/2}$vilket känns som ett misttag eftersom att exponenten saknar ett minus. Jag har ingen aning hur jag ska fortsätta.