Plan och linjer

Planets normalvektor är (3,b,1).

Ta fram linjens riktningsvektor och använd skalärprodukt.

Har nu tittat på din lösning lite mer.

Du sätter in koordinaterna för en punkt på linjen

(x, y, z) = (m + 1, 2m + 1, 3m + 2)

i planets ekvation

3x + by + z - 1 = 0

Du antar då att linjen ligger i planet, men den skulle enligt uppgiften även kunna ligga ovanför eller under planet. Du kan ta en punkt i planet och låta linjens riktningsvektor (1,2,3) utgå från den punkten. Den linjen kommer att ligga i planet.

Dr. G skrev:

Har nu tittat på din lösning lite mer.

Du sätter in koordinaterna för en punkt på linjen

(x, y, z) = (m + 1, 2m + 1, 3m + 2)

i planets ekvation

3x + by + z - 1 = 0

Du antar då att linjen ligger i planet, men den skulle enligt uppgiften även kunna ligga ovanför eller under planet. Du kan ta en punkt i planet och låta linjens riktningsvektor (1,2,3) utgå från den punkten. Den linjen kommer att ligga i planet.

På vilket vis hjälper detta mig? Jag har redan satt in koordinaterna (x,y,z) i planet. Varför skulle jag anta att linjen ligger i planet? Om dom är pararella bör dom ej ha lösningar. 

Hur ska jag veta vilken punkt som tillhör planet innan jag har beräknat b? Jag förstår inte varför du tror att linjen med riktningsvektor (1,2,3) kommer att ligga i planet? Återigen, hur hjälper mig detta ta reda på b?

Vad sägs om denna lösningen?

Ok, jag uttryckte mig felaktigt.

Linjen är antingen i planet (lösning för alla m), över/under planet (saknar lösning) eller så skär linjen planet för ett m-värde.

Lösningen med att undersöka ortogonalitet mellan linjen och planets normal känns som den enklaste här.

Har du testat att rita och testa i Geogebra? Lär hjälpa en hel del med förståelsen.

Hej!

Riktningsvektorn ($v$) till linjen

    $\displaystyle\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3}$

är $v = (1,2,3).$

Om denna vektor är vinkelrät mot planets normalvektor ($n$) så är linjen och planet parallella; detta inträffar då skalärprodukten $v \cdot n$ är lika med talet noll. Planets normalvektor är $n = (3,b,1)$ vilken ger skalärprodukten

    $\displaystyle v \cdot n = 3+2b+3.$