Planens ekvation

Låt den givna punkten och vektorn vara P resp v. Om P kan fås som t•v för något reellt t, dvs P ligger på linjen t•v så finns det oändligt många olika plan som uppfyller villkoret. Annars är planet entydigt bestämt.

Ett plan på parameterform i 3 dimensioner som håller punkten $P$ kan skrivas som

$(x,y,z)=P+t\mathbf{v}+s\mathbf{u}$

Där vektorerna $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ är linjärt oberoende men båda är parallella med (ligger i) planet. Man kan se vektorerna som en "bas" för planet.

Ibland skriver man det som en parameterframställning

$\mathbf{r}(s,t)=P+s\mathbf{u}+t\mathbf{v}$

Om du bara har en punkt och en vektor i planet blir ekvationen ofullständig. Då måste istället vektorn $\mathbf{v}$ som är given vara en normal till planet för att planet ska gå att bestämma.

D4NIEL skrev:

Ett plan på parameterform i 3 dimensioner som håller punkten $P$ kan skrivas som

$(x,y,z)=P+t\mathbf{v}+s\mathbf{u}$

Där vektorerna $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ är linjärt oberoende men båda är parallella med (ligger i) planet. Man kan se vektorerna som en "bas" för planet.

Ibland skriver man det som en parameterframställning

$\mathbf{r}(s,t)=P+s\mathbf{u}+t\mathbf{v}$

Om du bara har en punkt och en vektor i planet blir ekvationen ofullständig. Då måste istället vektorn $\mathbf{v}$ som är given vara en normal till planet för att planet ska gå att bestämma.

Just nu tittar jag på standardekvationen! dvs. ax+by+cz = d (jag tycker att planets ekvation skriven mha. en parameter är logisk). Men när det kommer till standardformen som menar att normalen till planet är kryssprodukten av två vektorer (som inte är parallella antar jag) tycker jag inte känns intuitivt alls... hur kan man bevisa det? dvs. att kryssprodukten ger en vektor som är vinkelrät mot alla vektorer på planet?

Det känns konstigt att kryssprodukten ger en vektor som är vinkelrät mot alla vektorer på planet men inte

<a,b,c> · v = 0, där v är en vektor på planet, där <a,b,c> är normalen

Om vi har ett högerorienterat system x, y, z kommer kryssprodukten av vilken kombination som helst av vektorer i xy-planet att ge en vektor som pekar i z riktning. Detta följer direkt av definitionen av kryssprodukt:

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Kryssprodukt

MrPotatohead skrev:

Om vi har ett högerorienterat system x, y, z kommer kryssprodukten av vilken kombination som helst av vektorer i xy-planet att ge en vektor som pekar i z riktning. Detta följer direkt av definitionen av kryssprodukt:

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Kryssprodukt

Jo, men jag vill ju ändå också förstå varför det är så liksom ( dvs. hur vi kan veta att kryssprodukten mellan två vektorer i ett plan ger en vektor som är vinkelrät mot alla vektorer på planet) men att detta int gäller

<a,b,c> · v = 0, där v är en given vektor på planet, där <a,b,c> är normalen

Det gäller att $<a,b,c>\cdot \mathbf{v}=0$, men det är inte ett tillräckligt villkor.

Här är en bild på ett plan. Vektorerna $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ ligger båda i planet. Trots att de är vinkelräta mot varandra!

Det du söker är alltså en vektor $\mathbf{n}$ som är vinkelrät mot såväl $\mathbf{u}$ som $\mathbf{v}$. Är du med?

Det ger två ekvationer!

$\mathbf{n} \cdot \mathbf{u}=0$

$\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}=0$

Man kan också bilda en normal så här

$\mathbf{n}=\mathbf{v}\times\mathbf{u}$

D4NIEL skrev:

Det gäller att $<a,b,c>\cdot \mathbf{v}=0$, men det är inte ett tillräckligt villkor.

Här är en bild på ett plan. Vektorerna $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ ligger båda i planet. Trots att de är vinkelräta mot varandra!

Det du söker är alltså en vektor $\mathbf{n}$ som är vinkelrät mot såväl $\mathbf{u}$ som $\mathbf{v}$. Är du med?

Det ger två ekvationer!

$\mathbf{n} \cdot \mathbf{u}=0$

$\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}=0$

Man kan också bilda en normal så här

$\mathbf{n}=\mathbf{v}\times\mathbf{u}$

Omg... jag tror att jag fattar nu 😮 Det räcker inte att endast ha en vektor som ligger i planet eftersom den vektorn ( vi kallar den v ) skalärprodukt <a,b,c>  kan ge en vektor som ligger i planet (vilket en normalvektor inte kan göra såklart)

Om vi har två vektorer som skulle vara parallella med varandra så kan det också hända att vi får fel svar eftersom kryssprodukten kan ge en vektor som ligger i planet.

Däremot om vi har två vektorer som ligger i planet men inte är parallella  så måste kryssprodukten ge en vektor som faktiskt "sticker ut" från planet... Det går inte att få en vektor som är vinkelrät mot både vektorerna på ett annat sätt... tänker jag rätt?

Ja, nu tror jag du tänker rätt. Men tänk också på att alla vektorer som "sticker ut" från planet inte behöver vara normaler till planet.

Här har jag försökt rita en röd vektor $w$ som sticker ut ur planet, men som är vinkelrät mot $\mathbf{v}$. Däremot är den vektorn inte vinkelrät mot $\mathbf{u}$.

Den skulle alltså uppfylla din första ekvation

$\mathbf{w}\cdot\mathbf{v}=0$

Men inte din andra ekvation

$\mathbf{w}\cdot \mathbf{u}\neq 0$

Men din första metod, att bara betrakta den första ekvationen, riskerar du också att få $\mathbf{w}$ som normal till planet, trots att den uppenbarligen inte är vinkelrät mot planet.

D4NIEL skrev:

Ja, nu tror jag du tänker rätt. Men tänk också på att alla vektorer som "sticker ut" från planet inte behöver vara normaler till planet.

Här har jag försökt rita en röd vektor $w$ som sticker ut ur planet, men som är vinkelrät mot $\mathbf{v}$. Däremot är den vektorn inte vinkelrät mot $\mathbf{u}$.

Den skulle alltså uppfylla din första ekvation

$\mathbf{w}\cdot\mathbf{v}=0$

Men inte din andra ekvation

$\mathbf{w}\cdot \mathbf{u}\neq 0$

Men din första metod, att bara betrakta den första ekvationen, riskerar du också att få $\mathbf{w}$ som normal till planet, trots att den uppenbarligen inte är vinkelrät mot planet.

Det tänkte jag inte på men jag håller helt med! Tack så jättemycket förresten, din hjälp har hjälp mig oerhört mycket!

Jag löste en uppgift via skalärmetoden istället för kryssprodukten och fick samma svar som facit, men ibland kan det vara pga. ren tur såklart… ser det bra ut?