Polära koordinater

Får du ihop det härifrån?

Micimacko skrev:

Får du ihop det härifrån?

Nej tyvärr, det kan jag inte påstå... en chansning - har det något med Jacobian att göra?

Hej,

Du får veta att $X=R\cos A$ och $Y=R\sin A$ vilket ger $R=\sqrt{X^2+Y^2}$ och $A = \arctan \frac{Y}{X}.$ Du får också veta att $X$ och $Y$ är oberoende normalfördelade slumpvariabler N(0,1).

Du ska studera "sannolikheten" $P(R=r \text{ och } A=a),$ där $r>0$ och $a \in [-\pi/2, \pi/2].$

Litet slarvigt kan man skriva följande.

    $P(R=r \text{ och }A=a) = P(X=r\cos a \text{ och } Y=r\sin a) = P(X=r\cos a) \cdot P(Y=r\sin a) \\= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-0.5 r^2 \cos^2 a} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-0.5 r^2\sin^2 a} = \frac{1}{2\pi}e^{-0.5r^2} = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{2}e^{-0.5r^2}.$

Jag gjorde såhär. Känns rätt att det kommer in ett r där, för jag kommer ihåg att den ska gå att integrera för hand på något sätt.

Tack, hörni!

I b) och c) så har vi ju informationen att R>0 och 0<A<2pi. Är det dessa respektive mängder som är svaret till b) och c)?

Marginell fördelning betyder att du tar täthetsfunktionen med båda variabler i, som du räknade ut i a), och integrerar bort den du inte är intresserad av så du får en täthetsfunktion med bara en variabel istället. Vad du skrev blir gränserna på integralen.