15 svar
173 visningar
sannakarlsson1337 411
Postad: 21 okt 2020 Redigerad: 21 okt 2020

Poles och Zeros.

BestĂ€m antalet nollor och poler (rĂ€knat med multipliciteter) för funktionen 

f(z)=z5sin(πz)(1-z2)(2-z2)(3-z7)f(z)=\frac{z^{5} \text{sin}(\pi z)}{(1-z^2)(2-z^2)(3-z^{7})} inuti disken $${𝑧:|𝑧|<4.5}$$.

 

SÄ nollstÀllen för denna Àr.

z=±1z= \pm 1 med mulitplicitet 1. 

z=±2z=\pm 2 med multiplicitet 1 och

z=±3z=\pm 3? med multiplicitet ...?

 

Men nĂ€r z=±1z=\pm 1 sĂ„ fĂ„r vi att hela funktionen f(z)f(z) Ă€r lika med 0, sĂ„ dĂ„ Ă€r de varken nollor eller poler.

Men jag kommer inte i land iallafall... 

Micimacko 2095
Postad: 21 okt 2020

Ett nollstÀlle betyder att funktionen blir 0, och en pol att du fÄr delat pÄ 0. Sen har en sjundegradare 7 lösningar, sÄ stÀll upp alla ekvationer i parenteserna och lös ordentligt (rita iaf). Sen kan det kanske hjÀlpa att taylorutveckla sin för att se vad som hÀnder i +-1.

Albiki 4986
Postad: 21 okt 2020

Hej,

NollstĂ€llen: Lösningar till ekvationen z5sinπz=0.z^5\sin \pi z = 0.

Poler: Lösningar till ekvationen (1-z2)(2-z2)(3-z7)=0.(1-z^2)(2-z^2)(3-z^7)=0.

Krav: Endast nollstÀllen och poler som uppfyller olikheten |z|<4.5|z|<4.5

sannakarlsson1337 411
Postad: 21 okt 2020 Redigerad: 21 okt 2020
Albiki skrev:

Hej,

NollstĂ€llen: Lösningar till ekvationen z5sinπz=0.z^5\sin \pi z = 0.

Poler: Lösningar till ekvationen (1-z2)(2-z2)(3-z7)=0.(1-z^2)(2-z^2)(3-z^7)=0.

Krav: Endast nollstÀllen och poler som uppfyller olikheten |z|<4.5|z|<4.5

Hej Alkibi!

  • NollstĂ€llen: Med WA hjĂ€lp, sĂ„ 2 st?
  • Poler: Det Ă€r ju, nu körde jag WA lite snabbt, och dĂ„ blir det allihop? dvs 5st?

Det du skriver, det Àr samma sak som denna va?



If đ›Œ is zero of order 𝑚 of 𝑓 and zero of order 𝑛 of 𝑔 and ℎ=𝑓/𝑔 then đ›Œxis (for function ℎ)

𝑖) removable singularity if 𝑚>𝑛. Here one can define ℎ(đ›Œ)=0 to "remove" the singularity and then đ›Œ becomes zero of order (𝑚−𝑛).

𝑖𝑖) pole of order (𝑛−𝑚) if 𝑛>𝑚.

𝑖𝑖𝑖) removable singularity if 𝑚=𝑛.


sÄ mitt m=2m = 2
n=5n = 5

i ) m>n2>5m>n \Rightarrow 2>5 stÀmmer ej, sÄ ingen 'removable' singularity?
ii) antal poler dÄ (n-m)5-2=3(n-m) \Rightarrow 5-2 = 3
iii) ingen remobavble singuarity (igen?) för 525 \neq 2.


sannakarlsson1337 411
Postad: 25 okt 2020

Bump =)

Micimacko 2095
Postad: 25 okt 2020 Redigerad: 25 okt 2020

FörstÄr inte alls vad du fÄr 5 ifrÄn? NÀmnaren Àr en 2+2+7=11-gradsfunktion och mÄste dÄ ha 11 nollstÀllen. Kan du se vad de har för belopp? Vilka ligger innanför cirkeln med radie 4,5?

TĂ€ljaren har dels 5 nollor i 0, frĂ„n z^5, och minst ett till, eftersom sin 0 = 0. Vad har sinusfunktionen mer för nollstĂ€llen?  Vilka ligger i cirkeln? Vet du hur man rĂ€knar ut multipliciteten för nollstĂ€llena till sin?

Sen tror jag du har missat att en nolla/pol finns i en enda punkt. Du kan inte ta ut dem mot varandra om de inte ligger pÄ samma stÀlle. I vilka punkter har du bÄde och, alltsÄ att bÄde tÀljare och nÀmnare blir 0? DÀr kan du anvÀnda satsen med m-n och se ifall du fÄr ett nollstÀlle, en pol eller en hÀvbar singularitet.

sannakarlsson1337 411
Postad: 25 okt 2020
Micimacko skrev:

FörstÄr inte alls vad du fÄr 5 ifrÄn? NÀmnaren Àr en 2+2+7=11-gradsfunktion och mÄste dÄ ha 11 nollstÀllen. Kan du se vad de har för belopp? Vilka ligger innanför cirkeln med radie 4,5?

TĂ€ljaren har dels 5 nollor i 0, frĂ„n z^5, och minst ett till, eftersom sin 0 = 0. Vad har sinusfunktionen mer för nollstĂ€llen?  Vilka ligger i cirkeln? Vet du hur man rĂ€knar ut multipliciteten för nollstĂ€llena till sin?

Sen tror jag du har missat att en nolla/pol finns i en enda punkt. Du kan inte ta ut dem mot varandra om de inte ligger pÄ samma stÀlle. I vilka punkter har du bÄde och, alltsÄ att bÄde tÀljare och nÀmnare blir 0? DÀr kan du anvÀnda satsen med m-n och se ifall du fÄr ett nollstÀlle, en pol eller en hÀvbar singularitet.

  • jag tĂ€nker sĂ„hĂ€r att nĂ€r vĂ„r funktion f(z) gĂ„r lim +/- 0, 1,2,3,4 sĂ„ Ă€r de grĂ€nsvĂ€rdet 0, sĂ„ dessa Ă€r dĂ„ vĂ„ra poler? dvs 10st.
  • NĂ€r bĂ„de tĂ€ljare och nĂ€mnare Ă€r 0, mĂ„ste z=1, sĂ„ de gör sĂ„ att de inte Ă€r, varken zeroes nor poles. sĂ„ frĂ„n ovan, sĂ„ Ă€r det 9 st? (10-1)
  • Min femma kommer ifrĂ„n z^5 i tĂ€ljaren
  • men m-n satsen, sĂ„ "alfa is zero fo orders m of f, and zero of there order n, of g, there h=f/g. SĂ„ dĂ„ Ă€r m=5 n=11? neee :(
Micimacko 2095
Postad: 25 okt 2020 Redigerad: 25 okt 2020

1) RÀtt tÀnkt, men du rÀknade 0 tvÄ gÄnger ;) Och det Àr nollstÀllen, för funktionen blir 0 dÀr. En pol betyder att du har delat pÄ 0.

2) z=1 Àr ena. z=-1 funkar ocksÄ. Du fÄr fortfarande inte blanda ihop grader i olika punkter. I 1 tex, sÄ kan vi se direkt att 1 Àr en enkelrot till nÀmnaren, sÄ vi har en enkelpol.

Vilken grad har nollstÀllet? Du kan rÀkna ut det genom att derivera sin(piz) flera gÄnger, och för varje derivata som blir 0 nÀr du stoppar in z=1 sÄ ökar du m med 1. Tills du fÄr en annan siffra.

4) Du fÄr rÀkna ut för varje intressant punkt om det Àr nollstÀlle eller pol, och i sÄ fall av vilken grad, och sen rÀkna ihop hur mÄnga av varje det Àr totalt.

sannakarlsson1337 411
Postad: 25 okt 2020 Redigerad: 25 okt 2020
Micimacko skrev:

1) RÀtt tÀnkt, men du rÀknade 0 tvÄ gÄnger ;) Och det Àr nollstÀllen, för funktionen blir 0 dÀr. En pol betyder att du har delat pÄ 0.

2) z=1 Àr ena. z=-1 funkar ocksÄ. Du fÄr fortfarande inte blanda ihop grader i olika punkter. I 1 tex, sÄ kan vi se direkt att 1 Àr en enkelrot till nÀmnaren, sÄ vi har en enkelpol.

Vilken grad har nollstÀllet? Du kan rÀkna ut det genom att derivera sin(piz) flera gÄnger, och för varje derivata som blir 0 nÀr du stoppar in z=1 sÄ ökar du m med 1. Tills du fÄr en annan siffra.

4) Du fÄr rÀkna ut för varje intressant punkt om det Àr nollstÀlle eller pol, och i sÄ fall av vilken grad, och sen rÀkna ihop hur mÄnga av varje det Àr totalt.

Okej, men om jag tittar pÄ denna dÄ (vi börjar om lite frÄn början, för fattar inte vad det e jag fÄr fel för)

  • Min zero Ă€r z=1, och det Ă€r dĂ€rför jag ska derivera sin5(πz)\sin^5 (\pi z) minst fem ggr och substituera in 1 i.  DĂ„ fĂ„r jag ...

    första derivatan: 5 π cos(π z) sin^4(π z) , sub in z=1 ger: 0
    andra derivatan: -5 π^2 sin^3(π z) (-4 cos^2(π z) + sin^2(π z)) sub in z=1 ger: 0
    tredje derivatan: 5 π^3 cos(π z) sin^2(π z) (12 cos^2(π z) - 13 sin^2(π z)) sub in =1 : 0
    fjĂ€rde derivatan: 5 π^4 sin(π z) (24 cos^4(π z) - 88 cos^2(π z) sin^2(π z) + 13 sin^4(π z)) sub in z=1: 0
    femte derivatan: 5 π^4 sin(π z) (24 cos^4(π z) - 88 cos^2(π z) sin^2(π z) + 13 sin^4(π z))  sub in z=1: 0

    ger ju bara 0. Tyckte det dĂ€r verkar lĂ„ng sökt, kanske ska man anvĂ€nda MacLaurin istĂ€llet vid z=1? eller hur? upp till typ "Olbe 7, typ den tĂ€ljaren har grad 5? (vad heter den - har för mig att man sĂ€ger Olbe, eller ja du vet nog vad jag menar ^^^) 
  • polerna Ă€r 0,±1,2,3,40, \pm 1,2,3,4 dvs 9 stycken, inuti disken 4.5?
Micimacko 2095
Postad: 25 okt 2020 Redigerad: 25 okt 2020

Kolla pÄ din funktion. Var har du sin upphöjt till 5? Man kan utveckla, men du kommer inte behöva det hÀr.

Varför kallar du 0,1,2.. för poler?

En McLaurinutveckling mÄste vara runt 0,annars Àr det en taylorutveckling. Och resttermen brukar kallas för ordo. Om man ska vara petig ;P

sannakarlsson1337 411
Postad: 25 okt 2020
Micimacko skrev:

Kolla pÄ din funktion. Var har du sin upphöjt till 5? Man kan utveckla, men du kommer inte behöva det hÀr.

Varför kallar du 0,1,2.. för poler?

En McLaurinutveckling mÄste vara runt 0,annars Àr det en taylorutveckling. Och resttermen brukar kallas för ordo. Om man ska vara petig ;P

Mkt sant, det Àr z^5 inte sin^5?

men vad som man kalla det annars?

jaaa ordo, fick jag olbe ifrÄn? Hmm

Micimacko 2095
Postad: 25 okt 2020

Kalla det typ nollstÀllen?

Vad fick du för grad pÄ nollstÀllena i sin nu? Och hur mÄnga nollstÀllen och poler har du dÄ totalt i z=1 och z=-1?

sannakarlsson1337 411
Postad: 30 okt 2020
Micimacko skrev:

Kalla det typ nollstÀllen?

Vad fick du för grad pÄ nollstÀllena i sin nu? Och hur mÄnga nollstÀllen och poler har du dÄ totalt i z=1 och z=-1?

Jag tĂ€nkte sĂ„hĂ€r... tĂ€ljaren har grad 5, nĂ€mnaren har grad 28. men eftersom vi inte fĂ„r rĂ€kna med \pm 1 ,sĂ„ tĂ€nker jag att det  man "tĂ€nker bort" hela den parentesen, alltsĂ„ har vi bara 7+2=9eller? tĂ€nker jag rĂ€tt nu?

Sedan lÀser jag detta:

Men vet inte..? kÀnner mig inte helt 100 med den hÀr lösningen

Micimacko 2095
Postad: 30 okt 2020

 1.  BestĂ€m vilken punkt du tittar pĂ„ FÖRST, sen kan du börja rĂ€kna grader just I den punkten.

2. 28??

sannakarlsson1337 411
Postad: 4 nov 2020
Micimacko skrev:

 1.  BestĂ€m vilken punkt du tittar pĂ„ FÖRST, sen kan du börja rĂ€kna grader just I den punkten.

2. 28??

assÄ fattar iiingenting.. blir ju bara grötit

Micimacko 2095
Postad: 4 nov 2020

Jag försökte hitta pÄ ett lite enklare exempel och förklara stegen. HÀnger du med hÀr?

Svara Avbryt
Close