Polynom?

Vilket tal i kubik blir -1?

Finns det fler reella lösningar? 

Tredjeroten kanske?

BroderEmil skrev :

Uppgiften är att lösa ut samtliga reella lösningar till $(x-7{)}^4=7-x$. Där finns ett tips också, "Undvik att utveckla VL".

Jag kikar då på HL och ser att jag kan få två termer som gör att jag kan förminska uttrycket lite:

$$\begin{gathered} (x-7{)}^4=7-x \\ (x-7{)}^4=-1(x-7) \\ (x-7{)}^3=-1 \end{gathered}$$               (rot: x=7)

Här tar det dock stopp. Vad kan jag göra nu (om jag nu följer tipset som gavs till denna uppgift)?

 

Tack,

BroderEmil

Du är inne på rätt spår genom att du har noterat att (7 - x) = -(x - 7).

Om du nu kallar 7 - x för t.ex. a så får du ekvationen $(-a{)}^4=a$.

Vad har den ekvationen för reella lösningar?

Om du hittar dem så kan du sedan enkelt substituera tillbaka till x.

Svaren är x=7, x=6. Sedan finns fler men de är icke-reella men det efterfrågas inte i denna uppgift.

Det enda jag kan misstänka är att sätta 

$$\begin{gathered} x-7=-1 \\ x=6 \end{gathered}$$

men stämmer det verkligen?

BroderEmil skrev :

Det enda jag kan misstänka är att sätta 

$$\begin{gathered} x-7=-1 \\ x=6 \end{gathered}$$

men stämmer det verkligen?

Pröva! Det bör du alltid göra när du har löst en ekvation.

Om x = 6 så är ju vänsterledet (x - 7)^4 = (6 - 7)^4 = (-1)^4 = 1.

Och högerledet är 7 - x = 7 - 6 = 1.

VL = HL. Alltså är x = 6 en lösning till ekvationen.

Och sen finns det en till som sagt var ...

Finns det? Enligt facit finns det två reella lösningar, $x=7, x=6$.

BroderEmil skrev :

Finns det? Enligt facit finns det två reella lösningar, $x=7, x=6$.

Jag menar att det finns en till förutom x = 6, och den andra lösningen är just x = 7, eftersom (7 - 7)^4 = (7 - 7), dvs 0^4 = 0