Polynom och delbarhet
Hej, har stött på denna uppgift:
Jag har suttit länge och funderat kring denna uppgift men kommer inte fram till något svar. Jag har försökt med polynomdivision för att se om divisionen går jämt upp men det är mycket krångligt. Tydligen gäller följande:
Ett sätt att verifiera att ett polynom f(x) är delbart med ett annat polynom g(x) är att kontrollera om alla nollställen (eller rötterna) till g(x) också är nollställen till f(x). Om så är fallet, så är f(x) delbart med g(x).
Min fråga är: VARFÖR? Det går inte ihop i mitt huvud. Om g(x) har nollställen och f(x) har samma nollställen, hur kan man då bevisa att f(x) är delbart med g(x)?
Att något är delbart med något annat innebär att resten av dessa vid division kommer bli 0. Kruxet här är att enligt faktorsatsen kommer det för varje nollställe till ett polynom finnas en tillhörande faktor . Du kan ju tänkte dig då att om två polynom har samma nollställen kan man då också faktorisera dem i samma faktorer. Vid en division kommer då alla faktorer ta ut varandra och vi kommer få någonting kvar, men resten är iaf 0, vilket vi var ute efter.
Jag tror jag är med på ett ungefär. Däremot har ju f(x) gradtalet 20 medan den andra har gradtalet 3. Då är det väl omöjligt att alla faktorer tar ut varandra?
Alla faktorer behöver inte ta ut varandra. Det räcker att de i nämnaren gör det. Exempelvis är 6 delbart med 3 även om 6/3≠1.
