Polynom - Ta reda pa X när du har p(x)

Det är en rätt taskig uppgift att lösa exakt utan annat hjälpmedel än papper och penna. Är uppgiften korrekt avskriven?

Uppgiften är korrekt avskriven. Hemma har jag miniräknaren Casio FX100AU och kan ej hitta att den har funktioner? 

Trodde uppgiften gick att lösa utan miniräknare? 

Välkommen till Pluggakuten!

Kan du lägga in en bild av uppgiften? Ekvationen har en lösning i intervaller 3 < x < 4, det är så långt jag orkar utan räknare.

Uppgiften ska antagligen lösas grafiskt.

Jag tror inte att din räknare klarar att rita grafer, men du kan använda något online-verktyg, t.ex. WolframAlpha.

Ett närmevärde till den reella lösningen är $x\approx 3,554$. Sen finns det även två komplexa rötter.

Hej Smaragdalena, 

Se bifogad bild, uppgift 6A. Skulle du kunna förklara hur du kommer fram till intervallet? 

Hej Yngve, 3.55 ar korrekt. Kom du fram till det svaret utan miniraknare? Skulle du kunna forklara / visa utrakning? 

Tack, 

Här är den exakta lösningen enligt Wolfram:

6b blir lika taskig.

Kias skrev:

...

Hej Yngve, 3.55 ar korrekt. Kom du fram till det svaret utan miniraknare? Skulle du kunna forklara / visa utrakning? 

 ...

Hej Kias.

Jag använde wolframalpha.com för att få fram det svaret. Klicka på den röda texten i mitt svar, det är en länk.

Hej Smaragdalena, 

Se bifogad bild, uppgift 6A. Skulle du kunna förklara hur du kommer fram till intervallet? 

Först deriverade jag funktionen och konstaterade att derivatan har två nollställen, x = 0 och x = 2. Jag beräknade också funktionens värde för alla heltal mellan -2 och 4 och konstaterade att 3 gav ett för litet värde och 4 gav ett för stort. Eftersom funktionen är växande i intervallet mellan 3 och 4 måste det bli "rätt" nånstans däremellan.

Det finns även numeriska metoder som man kan använda för att hitta ekvationens lösning, t.ex. Newton-Raphsons metod. Men sådana metoder ingår inte i Matte 3.

Detta är antagligen inget som man behöver lära sig, men det är faktiskt inte så jättekrångligt att lösa en tredjegradsekvation för hand.

Om vi börjar att skriva ekvationen lika med noll får vi:

$x^3-3x^2-7=0$

Nu vill vi försöka få bort $x^2$ termen. Det kan göras genom att substituera $x=t-\frac{k}{3}$ där $k$ är $x^2$-koefficienten. I vårt fall får vi $x=t+1$:

$(t+1)^3-3(t+1)^2-7=0$

$t^3+\cancel{3t^2}+3t+1-\cancel{3t^2}-6t-3-7=0$

$t^3-3t-9=0$

En tredjegradsekvation utan kvadratterm kan lösas genom att sätta $t$ lika med summan av två andra variabler. Vi väljer att kalla dem $u$ och $v$:

$(u+v)^3-3(u+v)-9=0$

$u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-3(u+v)-9=0$

$u^3+v^3+3uv(u+v)-3(u+v)-9=0$

$u^3+v^3+(3uv-3)(u+v)-9=0$

Eftersom $u$ och $v$ är godtyckliga (med några undantag) kan vi sätta ett villkor på $u$ och $v$. För att förenkla ekvationen kan vi då sätta så att $3uv-3=0$. Detta har två fördelar; en term i ekvationen försvinner, och vi kan lösa ut att $v=\frac{1}{u}$. Detta ger:

$u^3+\dfrac{1}{u^3}-9=0$

Multiplicerar man båda led med $u^3$ får man en andragradsekvation i $u^3$:

$(u^3)^2-9u^3+1=0$

$u^3=\dfrac{9 \pm \sqrt{77}}{2}$

Eftersom vi skulle fått samma svar om vi löste ut $v$ kan vi tolka det som att $u^3$ är lösningen med plustecken och $v^3$ är lösningen med minustecken. Detta ger:

$u=\sqrt[3]{\dfrac{9+\sqrt{77}}{2}}$

$v=\sqrt[3]{\dfrac{9-\sqrt{77}}{2}}$

$t$ blir då:

$t=\sqrt[3]{\dfrac{9+\sqrt{77}}{2}}+\sqrt[3]{\dfrac{9-\sqrt{77}}{2}}$

Sätter man in detta i $x=t+1$ får man den slutgiltiga lösningen:

$x=\sqrt[3]{\dfrac{9+\sqrt{77}}{2}}+\sqrt[3]{\dfrac{9-\sqrt{77}}{2}}+1$

TACK alla for erat engagemang och hjalp! :)