Polynomdivision

Hej.

Undrar du hur du kan komma fram till att även x = -1 är en rot eller undrar du hur du ska gå vidare när du väl vet det?

Hej,

Jag gissade mig till att det var en rot.

Jag undrar hur jag ska få reda på de två sista rötterna. Exemplen i boken hanterar inte en högre grad än X^2 i divisorn och inte matteboken.se heller vad jag kunde se. 

Eftersom både x = 1 och x = -1 ör rötter så är både x-1 och x+1 faktorer I ursprungspolynomet.

Du kan alltså utföra ytterligare en polynomdivision för att få ner gradtalet till 2.

Jag förstår inte.

Jag dividerar ursprungspolynomet med en rot, x-1 till exempel, sedan dividerar jag resultatet jag då får med en annan rot?

Det är ingenting man behagar ta upp någonstans i boken här naturligtvis. Man är tvungen att vara begåvad nog att bara fatta det annars är man körd.

Du vet att p(x) = (x-1)(x³-2x²+3).

Eftersom x = -1 är ett nollställe till x³-2x²+3 så måste (x+1) vara en faktor i x³-2x²+3.

Polynomdivisionen (x³-2x²+3)/(x+1) går alltså jämnt ut.

Eller så här: Eftersom p(x) innehåller både faktorn x-1 och faktorn x+1 så gäller det att p(x) = (x-1)(x+1)q(x) = (x²-1)q(x,)  där q(x) är ett andragradspolynom.

Det betyder att p(x) är delbart med (x²-1).

Du kan alltså utföra polynomdivisionen p(x)/(x²-1).

Okej, jag förstår inte varför exakt men tar det.

Om man hittar ett värde för X där ett polynom blir = 0. Varför betyder det att polynomet är delbart med X+-det värdet?

Svårt att förstå varför x värdet som ger 0 värdet för varje faktor i ett polynom har någonting att göra med slutvärdet i ett polynom också.

Dkcre skrev:

Okej, jag förstår inte varför exakt men tar det.

Om man hittar ett värde för X där ett polynom blir = 0. Varför betyder det att polynomet är delbart med X+-det värdet?

Svårt att förstå varför x värdet som ger 0 värdet för varje faktor i ett polynom har någonting att göra med slutvärdet i ett polynom också.

Lätt formulerat (utan strikt bevis) för ett enkelt nollställe:

Säg att polynomet är p(x) och där x=a är ett nollställe, d.v.s.

p(a)=0

Då måste p(x) innehålla en faktor (x-a) ty om så är fallet har vi

p(x)=(x-a)*något

där "något" inte blir 0 då x=a och mycket riktigt har vi att 

p(a)=(a-a)*något=0*något=0.

Okej, men varför måste p(x) innehålla en faktor (x-a)?

Dkcre skrev:

Okej, jag förstår inte varför exakt men tar det.

Om man hittar ett värde för X där ett polynom blir = 0. Varför betyder det att polynomet är delbart med X+-det värdet?

Nej, så är det inte.

Däremot gäller det att om ett polynom har x = a som nollställe så gäller det att (x-a) är en faktor i polynomet.

Svårt att förstå varför x värdet som ger 0 värdet för varje faktor i ett polynom har någonting att göra med slutvärdet i ett polynom också.

Här förstår jag inte riktigt vad du menar med "slutvärdet i ett polynom". Kan du ge ett exempel?

Dkcre skrev:

Okej, men varför måste p(x) innehålla en faktor (x-a)?

Faktorsatsen söger att alla polynom p(x) går att faktorisera till en produkt av förstagradspolynom och en konstant.

Exempel:

Polynomet p(x) = ax⁴+bx³+cx²+dx+e kan faktoriseras till p(x) = a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)(x-x₄)(x-x₅), där x₁, x₂ x₃, x₄ och x₅ är polynomets nollställen.