10 svar
1045 visningar
Solmyrkvi 3 – Fd. Medlem
Postad: 18 dec 2018 22:05

Polynomdivision med imaginär rot

z^3-11z^2+16z-176=0

Man vet att den har en imaginär rot

SeriousCephalopod 2696
Postad: 18 dec 2018 22:14

Är målet att först hitta roten?

AlvinB 4014
Postad: 18 dec 2018 22:14

Exakt hur lyder uppgiften? Får du inte veta något mer om roten än att den är imaginär?

Om så är fallet kan du ju visserligen konstatera att du måste ha två imaginära rötter som är komplexkonjugat av varandra (i och med att imaginärdelarna ska ta ut varandra och ge reella koefficienter), men det hjälper inte särskilt mycket. Du får nog i sådana fall börja leta efter rationella rötter.

Laguna Online 29838
Postad: 18 dec 2018 22:15

Det står polynomdivision, men vad ska divideras? Ska du hitta alla rötterna? 

Laguna Online 29838
Postad: 18 dec 2018 22:17 Redigerad: 18 dec 2018 22:20

Det borde väl gå bra att identifiera polynomet med (z=ai)(z+ai)(z-b) för att hitta a och b?

Edit: ja, det gick bra, t o m i huvudet. 

Solmyrkvi 3 – Fd. Medlem
Postad: 18 dec 2018 22:21

Står bara lös polymekvationen fullständigt. Man vet att den har en ren imaginär rot. 

AlvinB 4014
Postad: 18 dec 2018 22:38

Du har två alternativ:

  • Som Laguna säger, identifiera koefficienterna i (z-ai)(z+ai)(z-b)=0(z-ai)(z+ai)(z-b)=0 och lös med nollproduktmetoden.
  • Leta efter rationella rötter och med hjälp av faktorsatsen och polynomdivision reducera ekvationen till en andragradsekvation.

Vilken tror du att du är mest bekväm med?

Yngve 39943 – Livehjälpare
Postad: 18 dec 2018 22:41 Redigerad: 19 dec 2018 08:26
Solmyrkvi skrev:

Står bara lös polymekvationen fullständigt. Man vet att den har en ren imaginär rot. 

Polynomet har reella koefficienter, vilket betyder att komplexa rötter förekommer i komplexkonjugerade par, dvs om a+bia+bi är en rot så är även a-bia-bi en rot.

Du vet att en rot är rent imaginär, dvs en rot är bibi. Då är även dess komplexkonjugat -bi-bi en rot.

Det betyder att du känner till två faktorer i polynomet, nämligen (z-bi)(z-bi) och (z+bi)(z+bi), vilket i sin tur innebär att den tredje roten måste vara reell, dvs polynomet kan skrivas k(z-bi)(z+bi)(z-a)k(z-bi)(z+bi)(z-a), där kk, bb och aa är reella konstanter.

Du kan nu multiplicera ihop din faktorisering, jämföra med ursprungspolynomet och identifiera termer.

Alla z3z^3-termer måste vara lika, alla z2z^2-termer måste vara lika. alla zz-termer måste vara lika och alla konstanttermer måste vara lika.

Solmyrkvi 3 – Fd. Medlem
Postad: 18 dec 2018 22:44

Alternativ ett har jag aldrig gjort. Alternativ två har jag åtminstone sett utföras men vet nu inte hur jag ska börja? Är det bara att testa sig fram eller finns det några knep att ta till?

AlvinB 4014
Postad: 18 dec 2018 23:12 Redigerad: 18 dec 2018 23:12
Solmyrkvi skrev:

Alternativ ett har jag aldrig gjort. Alternativ två har jag åtminstone sett utföras men vet nu inte hur jag ska börja? Är det bara att testa sig fram eller finns det några knep att ta till?

 Har du talas om rationella rotsatsen?

Den säger att eventuella rationella rötter till ett polynom är plus minus faktorerna för konstanttermen delat på faktorerna för termen av högst grad.

I detta fall behöver du alltså testa plus minus alla faktorer till 176.

Yngve 39943 – Livehjälpare
Postad: 18 dec 2018 23:18

Såg nu att du är ny här. Välkommen till Pluggakuten!

Svara
Close