Polynomdivision x = a
Hej..
På 4431 a) ska man ta x = a, dvs x = 2, och sedan lägga in i uttrycket för att se om resten blir 0, då vet man att man att uttrycket går att dividera med x-2.
I 4431 b) då ska man inte ta x = a utan då ska man sätta in x = -a istället.
Varför.
Lika i en exempelfråga så står det visa att g(x) = x^5 + 32 har en faktor x+2.
Då står det i svaret att man ska notera att x+2 = x -(-2), och därför är det motiverat att sätta in x = -2 i uttrycket. Fattar ingenting.
x–2 är noll när x = 2
x+2 är noll när x = –2
x–a = 0 när x = a
x+a = 0 när x = –a
så om a = –2 så är x–a = 0 när x = –2 osv
Okej, så man är ute efter när det uttrycket blir 0? Vad säger det för någonting då?
Åh, och tack.
Det är jättejättecentralt.
Om du har en funktion f(x) = x4+3x3-x+7
och du vet funktionens nollställen x = a, x = b, x = c, x = d
så kan du skriva f(x) = (x–a)(x–b)(x–c)(x–d).
Avbruten återkommer
Detta är fundamentalt.
p(a) = 0 <=> p(x) delbart med (x–a)
Okej så när man väljer ett X så att nämnaren blir 0 så ser man om x-a är en faktor eller inte.
Får ställa upp det med några lättare uttryck för att se varför
Jag förstår inte riktigt vad du skriver om nämnare.
Utgå från ett polynom, t ex
p(x) = x3+2x2–3x–6
Du söker nollställena. Genom att prova dig fram ser du att x = –2 är ett nollställe.
Det betyder att polynomet är delbart med faktorn (x–(–2)) = x+2
Utför divisionen p(x) / (x+2)
Det ger x2–9 som är noll för x = ± roten ur 3
Så p(x) kan skrivas (x+2)(x+31/2)(x–31/2)
Poängen är att p(a) = 0 är ekvivalent med att divisionen p(x) / (x–a) går jämnt ut.
Det är faktiskt roligare än så.
Tänk dig att du dividerar ett polynom p(x) med x–a. Nu behöver INTE a vara nollställe, utan du får resten R, dvs
p(x)/(x–a) = q(x) + R/(x–a)
Om du multiplicerar bägge led med x–a så får du
p(x) = (x–a) q(x) + R
Sätt in x = a
p(a) = 0 + R
Det är väl litet häftigt! Om du delar ett polynom med x–a så blir resten polynomets värde för x = a.
Jo men lite svårt :p
Men förstår lite i alla fall, tack
