6 svar
38 visningar
poijjan är nöjd med hjälpen!
poijjan 273
Postad: 6 maj 2019 Redigerad: 6 maj 2019

Polynomekvation av högre grad

Jag vet att en rot är i och en då blir dess konjugat (-i) . Jag kom fram till en ny ekvation med hjälp av faktorsatsen , om den stämmer, hur löser jag den ? z3+z2i-z2-zi-6z+6i =0

Du har korrekt konstaterat att konjugatet, -i, är en rot till ekvationen. Bekräfta detta, och polynomdividera. Tips om du inte gillar att polynomdividera: att dividera med en faktor först, och sedan en annan, är samma som att dividera med produkten av faktorerna. I detta fall: (x-i)(x+i)=x2+1(x-i)(x+i)=x^2+1. :)

poijjan 273
Postad: 6 maj 2019 Redigerad: 6 maj 2019
Smutstvätt skrev:

Du har korrekt konstaterat att konjugatet, -i, är en rot till ekvationen. Bekräfta detta, och polynomdividera. Tips om du inte gillar att polynomdividera: att dividera med en faktor först, och sedan en annan, är samma som att dividera med produkten av faktorerna. I detta fall: (x-i)(x+i)=x2+1(x-i)(x+i)=x^2+1. :)

Men om jag gillar att polynomdividera :-) då ska jag altså utföra två polynomdivisioner ? Jag har ju utfört en med (x-i), ska jag då altså utföra en till med (x+i) ? Jag kan altså inte jobba med enbart den ekvationen jag fick fram genom polynomdivision med (x-1)?

Yngve 11607 – Mattecentrum-volontär
Postad: 6 maj 2019 Redigerad: 6 maj 2019
poijjan skrev:

Men om jag gillar att polynomdividera :-) då ska jag altså utföra två polynomdivisioner ? Jag har ju utfört en med (x-i), ska jag då altså utföra en till med (x+i) ? Jag kan altså inte jobba med enbart den ekvationen jag fick fram genom polynomdivision med (x-1)?

Du menar "... genom polynomdivision med (x-i)".

Svar: Jovisst kan du jobba med ekvationen efter endast en division! Om du gillar att lösa tredjegradsekvationer med komplexa koefficienter lika mycket som du gillar att polynomdividera 😉

poijjan 273
Postad: 6 maj 2019
Yngve skrev:
poijjan skrev:

Men om jag gillar att polynomdividera :-) då ska jag altså utföra två polynomdivisioner ? Jag har ju utfört en med (x-i), ska jag då altså utföra en till med (x+i) ? Jag kan altså inte jobba med enbart den ekvationen jag fick fram genom polynomdivision med (x-1)?

Du menar "... genom polynomdivision med (x-i)".

Svar: Jovisst kan du jobba med ekvationen efter endast en division! Om du gillar att lösa tredjegradsekvationer med komplexa koefficienter lika mycket som du gillar att polynomdividera 😉

Ja såklart , (1-i) 

Det lät iof trevligt, men avstår väl då p.g.a tidsbrist :-) 

 

Men har nu gjort ytterligare en polynomdivision fast med (1+i). Så jag har fått fram två ekvationer:

z3+z2i-z2-zi-6z+6iz-i=0 (z3-z2i-z2+zi-6z+6i)(z+i)=0

Använder nollproduktsmetoden , detta ger mig i och -i som två lösningar. Sen vet jag ju att dom första faktorerna i bägge led ska vara 0, så sätter dom lika varandra

Men här får jag bara ut z=0 

Yngve 11607 – Mattecentrum-volontär
Postad: 6 maj 2019 Redigerad: 6 maj 2019
poijjan skrev:
Ja såklart , (1-i) 

Det lät iof trevligt, men avstår väl då p.g.a tidsbrist :-) 

 

Men har nu gjort ytterligare en polynomdivision fast med (1+i). Så jag har fått fram två ekvationer:

z3+z2i-z2-zi-6z+6iz-i=0 (z3-z2i-z2+zi-6z+6i)(z+i)=0

Använder nollproduktsmetoden , detta ger mig i och -i som två lösningar. Sen vet jag ju att dom första faktorerna i bägge led ska vara 0, så sätter dom lika varandra

Men här får jag bara ut z=0 

Nej du missuppfattar vad som ska divideras med vad.

Läs detta svar från Smutstvätt igen.

-----------------

Om polletten ändå inte faller ner kan du läsa vidare här för en mer ingående förklaring:

Kalla ursprungspolynomet för P(z)P(z), dvs P(z)=z4-z3-5z2-z-6P(z)=z^4-z^3-5z^2-z-6.

Du vet att både ii och -i-i är nollställen till P(z)P(z).

Det betyder att både (z-i)(z-i) och (z+i)(z+i) är faktorer i P(z)P(z).

Det betyder att P(z)P(z) kan skrivas som P(z)=(z-i)(z+i)Q(z)P(z)=(z-i)(z+i)Q(z), dvs P(z)=(z2+1)Q(z)P(z)=(z^2+1)Q(z), där Q(z)Q(z) är ett polynom av grad 2.

Det betyder att Q(z)=P(z)z2+1Q(z)=\frac{P(z)}{z^2+1}.

Om du utför den polynomdivisionen så får du ett andragradspolynom Q(z)Q(z). Om du sedan löser ekvationen Q(z)=0Q(z)=0 så hittar du enkelt de två resterande nollställena.

poijjan 273
Postad: 6 maj 2019 Redigerad: 6 maj 2019
Yngve skrev:
poijjan skrev:
Ja såklart , (1-i) 

Det lät iof trevligt, men avstår väl då p.g.a tidsbrist :-) 

 

Men har nu gjort ytterligare en polynomdivision fast med (1+i). Så jag har fått fram två ekvationer:

z3+z2i-z2-zi-6z+6iz-i=0 (z3-z2i-z2+zi-6z+6i)(z+i)=0

Använder nollproduktsmetoden , detta ger mig i och -i som två lösningar. Sen vet jag ju att dom första faktorerna i bägge led ska vara 0, så sätter dom lika varandra

Men här får jag bara ut z=0 

Nej du missuppfattar vad som ska divideras med vad.

Läs detta svar från Smutstvätt igen.

-----------------

Om polletten ändå inte faller ner kan du läsa vidare här för en mer ingående förklaring:

Kalla ursprungspolynomet för P(z)P(z), dvs P(z)=z4-z3-5z2-z-6P(z)=z^4-z^3-5z^2-z-6.

Du vet att både ii och -i-i är nollställen till P(z)P(z).

Det betyder att både (z-i)(z-i) och (z+i)(z+i) är faktorer i P(z)P(z).

Det betyder att P(z)P(z) kan skrivas som P(z)=(z-i)(z+i)Q(z)P(z)=(z-i)(z+i)Q(z), dvs P(z)=(z2+1)Q(z)P(z)=(z^2+1)Q(z), där Q(z)Q(z) är ett polynom av grad 2.

Det betyder att Q(z)=P(z)z2+1Q(z)=\frac{P(z)}{z^2+1}.

Om du utför den polynomdivisionen så får du ett andragradspolynom Q(z)Q(z). Om du sedan löser ekvationen Q(z)=0Q(z)=0 så hittar du enkelt de två resterande nollställena.

Grymt förklarat! Nu hänger jag med på vad hur menar! 

Svara Avbryt
Close