13 svar
106 visningar
goljadkin 172
Postad: 16 maj 2017

Polynomekvation, roten 2i

Hej

kan någon hjälpa mig med följande uppgift:

Ekvationen z3-5iz2-9+iz-2+6i=0 har roten 2i. Lös ekvationen fullständigt.

Jag började med att sätta z=bi och får då bi3-5i×i2-9+ibi-2+6i=0

realdelen blir då 9b-2=0

imaginärdelen blir (-b+11)i=0

men det blir ju inte rätt.

Ture 440
Postad: 16 maj 2017

sätt z = 2i och sätt in i ekvationen då blir VL förhoppningsvis 0. Men det är ju i och för sig onödigt, eftersom det är givet att 2i är en rot till ekvationen.

Dela istället hela VL med z-2i för att få fram den andragradare som återstår att lösa.

Som Ture sa, fast med andra ord:

Du har ekvationen P(z) = 0, där P(z) är ett polynom av grad 3.

Eftersom z = 2i är en rot till ekvationen så är (z - 2i) en faktor i polynomet P(z).

Ekvationen kan alltså skrivas (z - 2i)*Q(z) = 0, där Q(z) är ett polynom av grad 2 som är sådant att (z - 2i)*Q(z) = P(z).

goljadkin 172
Postad: 16 maj 2017 Redigerad: 16 maj 2017

okej när jag delar med z-2i får jag kvoten z2-3iz-3-i+3-3z2-3iz-3-i

så där är alltså mitt andragradspolynom

ska jag då sätta in z=a+bi så får jag a2-b2+2abi-3ia+3b-3-i=0

med realdel a2-b2+3b-3=0 

och imaginärdel 2ab-3a-1i=0

Yngve 2216 – Mattecentrum-volontär
Postad: 16 maj 2017 Redigerad: 16 maj 2017

EDIT - Jag är ute och cyklar. Det var ju helt rätt här ovan.

Realdelen är rätt men imaginärdelen blev fel.

Den ska vara -3a - 1

goljadkin 172
Postad: 16 maj 2017

okej så då har vi -3a-1=0 då blir det -3a=1 och a=-1/3

men jag vet inte hur jag ska få fram svaret i facit som blir rötterna 2i,-1+i,1+2i

Ture 440
Postad: 16 maj 2017
goljadkin skrev :

okej när jag delar med z-2i får jag kvoten z2-3iz-3-i+3-3z2-3iz-3-i

så där är alltså mitt andragradspolynom

ska jag då sätta in z=a+bi så får jag a2-b2+2abi-3ia+3b-3-i=0

med realdel a2-b2+3b-3=0 

och imaginärdel 2ab-3a-1i=0

Jag tror att Yngve har fel för en gångs skull, nog är dina siffror enl ovan korrekta!?

Ture skrev :

Jag tror att Yngve har fel för en gångs skull, nog är dina siffror enl ovan korrekta!?

Ja! Jättefel! Tack för påpekandet. Jag ber om ursäkt och stryker min tokiga kommentar ovan.

goljadkin 172
Postad: 17 maj 2017

okej så om jag då har

realdelen a2-b2+3b-3=0 och imaginärdelen 2ab-3a-1i=0 

hur ska jag nu gå vidare för att få fram rötterna 2i,-1+i,1+2i

Vanligtvis vill man ju ha

a2-b2= 2abi=

men nu har vi flera andra termer

Roten 2i har du redan dividerat bort. Det enklaste hade varit att behålla andragradsekvationen i z och lösa den med pq-formeln eller kvadratkomplettering, men om du vill lösa ekvationssystemet med a och b i stället går det förstås också. Om du kallar b-3/2 för c får ekvationerna det utseende du känner igen, a^2-c^2=..., 2ac=...

goljadkin 172
Postad: 18 maj 2017

okej så om vi tar pq-formeln ska vi alltså ha z=32i±-32i2+3+i94+124+4i421+4i4

Nu blev det fel under rottecknet.

Det ska vara (-p/2)^2 inte -(p/2)^2.

goljadkin 172
Postad: 19 maj 2017

okej men blir det inte ändå 9/4 då vi får (-3i/2)^2= (-9i^2/4)=9/4

Nej. (-3i2)2 = (-3)2i222 = 9(-1)4 = -94

Svara Avbryt
Close