Polynomfunktionerns grafer

Hej! Jag förstår inte riktigt hur man menar när man säger att polynom högsta term växer och dominerar då x värden antingen antar STORA posetiva & negativa värden.

Polynomet betraktas som funktioner från ℝ→ℝ
Definitionsmängd (Df): kan väljas till hela ℝ
Polynomfunktioner: Allmänhet SAKNAR❌ inverser. Men varför?

sedan skriver de om att för udda gradtal gäller att blir vf= HELA R (dvs surjektiv) men därr JÄMNA gradtal kommer vf utgöra en DELMÄNGD av R. Dvs ej surjekiv.

ex. p(x) = x³− x² − x − 1

När x växer: kommer x³ termen dominera redan vid x=10 …

x³ termen: 10³= 1000
Svansen: x² − x − 1= 10² − 10 − 1= -111

Ökar x mer↑= växer avståndet mellan ”svansen” & x³- term.
Men jag förstår inte hur man menar att x³termen dominerar

De illusterar grafen från:

Hej.

Jag uppfattar två frågor i ovanstående, säg till om du har fler:

Fråga 1: Varför saknar polynomfunktioner i allmänhet inverser?

Svar:

Många polynomfunktioner har både lokala minimi- och maximipunkter, vilket gör.att de ej är injektiva (se exemplet i figur 14).
Värdemängden hos polynomfunktioner av jämn grad täcker inte ut hela $\mathbb{R}$ , vilket gör att de inteär surjektiva.

Fråga 2: Varför dominerar termen med högst grad om man kommer tillräckligt långt bort från origo, dvs varför är t.ex. ax³ > bx² oavsett vilka (positiva) värden a och b har då x är ett tillräckligt stort positivt tal?

Svar:

Eftersom både a, b och x är större än 0 så kan vi skriva olikheten ax³ > bx²som x³/x² > b/a, dvs x > b/a, vilket blir ett sant påstående då x blir tillräckligt stort. Samma typ av resonemang går att tillämpa även på jämna grader, negativa koefficienter och negativa tal x.
Ett annat sätt att inse det är att skissa grafen till y = x³ och y = x² i samma koordinatsystem. Det är då tydligt att x³ växer snabbare än x² ju större x blir.

==========

Var det svar på dina frågor?

Fråga 1

Hur menar du täcker inte ut?

Maddefoppa skrev:
Fråga 1

Hur menar du täcker inte ut?

Det finns element i målmängden $\mathbb{R}$ som inte finns i värdemängden.

Exempel: Värdemängden till funktionen $f(x)=x^4$ består av alla icke-negativa reella tal. Men målmängden $\mathbb{R}$ innehåller även de negativa reella talen.

Oki! Skulle du kunna förklara hur det hade blivit gällande målmängden. Förstår logiskt sätt att en potens upphöjt till jämntal= alltid posetivt. Och att x (deffintionsmängden) kan anta negativa värden och att den blir den vågräta linjen på grafen medan värdemängden blir arean. Under grafen. Men har lite svårt att förstår hur målmängden kommer in här:)

Tack för alla svar & förlåt för att jag är lite dålig på att formulera konkreta frågor. Men så bra att du förtydligar frågor & svar:)

Maddefoppa skrev:
Oki! Skulle du kunna förklara hur det hade blivit gällande målmängden. Förstår logiskt sätt att en potens upphöjt till jämntal= alltid posetivt. Och att x (deffintionsmängden) kan anta negativa värden och att den blir den vågräta linjen på grafen medan värdemängden blir arean. Under grafen. Men har lite svårt att förstår hur målmängden kommer in här:)

Jag är ledsen, men jag förstår inte vad det är du vill att jag ska försöka förklara.

Jag förstår inte heller vad du menar med att definitionsmängden blir den vågräta linjen och att värdemängden blir arean?

Jo jag menar att jag undrar sambandet mellan målmängd och värdemängd:)

men arean under grafen menar jag, är det själva värdemängden?

Nej, värdemängden är alla värden som funktionsvärdena kan anta. Du kan se det som vilka delar av y-axeln som "används" av funktionen.

Definitionsmängden är de värden på x som är tillåtna, d v s de delar av x-axeln som "används".

Men är inte y värden på axeln målmängden medans värde mängden fås genom insättning av x i en funktion?

Målmängden är "alla reella tal", värdemängden är de reella tal som det verkligen blir.

Jag fick en förklaring igår som gör att jag kanske har lättare att komma ihåg detta i fortsättnngen: min som programmeraren sa att för honom spelar målmängden (codomain) mycket större roll än målmängden (range) eftersom det är målmängden som påverkar vilken typ av tal det är (heltal, reella tal o s v) och vilken typ det är påverkar hur mina skall definiera sina varabler.

Maddefoppa skrev:
men arean under grafen menar jag, är det själva värdemängden?

Nej, så är det inte, eftersom

Om du menar själva arean under grafen så är det ett tal som har enheten areaenheter. Dessutom är området under en graf väldigt sällan begränsat, så arean blir då oändlig.

Om du menar alla möjliga punkter under grafen så är dessa talpar (x, y), inte endimensionella värden. Exempelvis så beskriver talparet (3, -7) en punkt under grafen till y = x², men detta talpar finns inte med i värdemängden till f(x) = x² (och det finns inte ens med i målmängden $\mathbb{R}$ ).

Om du menar alla möjliga y-värden under grafen så stämmer inte det heller eftersom det sällan finns någon undre gräns för dessa värden. Exempelvis så är y = -2 ett möjligt y-värde under grafen till y = x², trots att -2 inte finns med i värdemängden.

Maddefoppa skrev:
Men är inte y värden på axeln målmängden medans värde mängden fås genom insättning av x i en funktion?

Jo, så kan vi se det.

Målmängden är alla tillåtna värden.
Värdemängden är de vörden som faktiskt antas.

Läs gärna mer om detta här.

Svara Avbryt

Visa senaste svar